風險厭惡是否會導致邊際效用遞減，反之亦然？
讓 $ A $ 是一組可能的世界狀態，或一個人可能擁有的偏好。讓 $ G(A) $ 是“賭博”或“彩票”的集合，即機率分佈的集合 $ A $ . 那麼每個人都會有一個偏好的狀態順序 $ A $ ，以及在 $ G(A) $ . von Neumann-Morgenstern 定理指出，假設您的偏好排序 $ G(A) $ 遵循一定的理性公理，你的偏好可以用一個效用函式來表示 $ u: A → ℝ $ . （這個函式對於標量的乘法和常數的加法是唯一的。）這意味著對於任何兩個彩票 $ L_1 $ 和 $ L_2 $ 在 $ G(A) $ ， 你比較喜歡 $ L_1 $ 到 $ L_2 $ 當且僅當 $ u $ 在下面 $ L_1 $ 大於預期值 $ u $ 在下面 $ L_2 $ . 換句話說，你最大化了效用函式的期望值。
現在，僅僅因為你最大化你的效用函式的期望值並不意味著你最大化實際事物的期望值，比如金錢。畢竟，人們經常厭惡風險。他們說“手中的一隻鳥勝過叢林中的兩隻”。風險厭惡意味著您對賭博的價值低於您將獲得的金錢的預期價值。如果我們用馮諾依曼-摩根斯坦效用函式來表達這個概念，我們通過詹森不等式得到以下結果：當且僅當一個人的效用函式是你的錢的凹函式時，一個人是風險厭惡的，即在多大程度上你的風險厭惡程度與你的貨幣邊際效用遞減程度相同。（見本 PDF第 13 頁。）
我的問題是，因果關係向哪個方向發展？von Neumann-Morgenstern 效用函式的值是否反映了你的偏好強度，並且是風險規避，因為與未來更貧窮的自己的偏好相比，未來富裕的自我的偏好被貼現了，因此重視更多的錢（正如布拉德德隆在這裡建議的那樣）？或者因果關係是否相反：您對風險的容忍度是否決定了您的效用函式的形狀，因此馮諾依曼-摩根斯坦效用函式不會告訴您有關您偏好的相對強度的任何資訊？
我想我已經找到了我的問題的答案，摘自諾貝爾獎獲得者 John C. Harsanyi 1994 年在第九屆國際邏輯、方法論和哲學大會上發表的論文“範諾依曼-摩根斯坦效用的規範有效性和意義”。科學。Harsanyi 首先證明了 Alecos 在他的回答中證明的相同引理，即如果 $ u $ 是個體的 vNM 效用函式，則 $ u(10) - u(5) < u(5) - u(0) $ 當且僅當他們更喜歡保證 5 美元，而不是 50% 的 10 美元和 50% 的機會 0 美元。在評論部分，我說這不足以證明 vNM 效用函式代表偏好的強度，因為如果個人的實際快樂和痛苦被其他一些效用函式準確地描述了怎麼辦 $ v $ ，這是一個單調變換，但不是仿射變換 $ u $ ? 在那種情況下不能 $ v $ 不能滿足期望值屬性，並且不能 $ v(10) - v(5) = v(5) - v(0) $ ?
Harsanyi 有一個巧妙的論點來處理這個問題。讓 $ L_1 $ 成為你保證 5 美元的彩票，讓 $ L_2 $ 成為你有 50% 的機會獲得 10 美元和 50% 的機會獲得 0 美元的彩票，並讓 $ L_3 $ 成為您有 50% 的機會獲得 10 美元和 50% 的機會獲得 5 美元的彩票。那麼顯然這個人更喜歡 $ L_3 $ 二者皆是 $ L_1 $ 和 $ L_2 $ . Harsanyi 認為 $ L_3 $ 優先於 $ L_1 $ 強度低於 $ L_3 $ 優先於 $ L_2 $ 當且僅當 $ v(10) - v(5) < v(5) - v(0) $ . 那是因為在兩者之間的選擇中， $ L_3 $ 對比 $ L_1 $ , 50% 的時間他們得到 5 美元，而 50% 的時間他們必須在 10 和 5 之間做出選擇。同樣在 $ L_3 $ 和 $ L_2 $ , 50% 的時間他們得到 10 美元，而 50% 的時間他們必須在 5 和 0 之間做出選擇。
現在來了主筆： $ L_1 $ 優先於 $ L_2 $ 當且僅當 $ L_3 $ 優先於 $ L_1 $ 強度低於 $ L_3 $ 優先於 $ L_2 $ . 所以， $ L_1 $ 優先於 $ L_2 $ 當且僅當 $ v(10)-v(5) < v(5) -v(0) $ . 因此我們得出了一個宏偉的結論： $ u(10) - u(5) < u(5) - u(0) $ 當且僅當 $ v(10)-v(5) < v(5) -v(0) $ .
因此，Harasanyi 得出結論，即 vNM 效用函式代表偏好強度。所以我的問題的答案似乎是，當涉及到偏好強度時，vNM 效用函式中的邊際效用遞減反映了真正的邊際效用遞減，因此（假設 vNM 公理是正確的）邊際效用遞減確實是風險的原因厭惡。
順便說一句，我想知道我們是否可以辨識所有函式的集合 $ v $ 滿足以下約束 $ u(x) - u(y) < u(z) - u(w) $ 當且僅當 $ v(x)-v(y) < v(z) -v(w) $ （同樣適用於大於和等於）。（編輯：我在Mathematics.SE上問過這個問題。）