價格對效用的影響
消費者有一個禀賦向量 $ w $ ; 價格 $ p $ 他對第一種善的需求超過了他的禀賦； $ x_1^+(p; pw)>w_1 $ 然後小幅增加 $ p_1 $ 會降低他的效用。
我正在和一位朋友討論這個問題，他認為這是基於瓦爾拉斯法。價格上漲，需求下降並收斂到瓦爾拉斯定律均衡，以找到 $ z(p) $ 使過剩需求為 0 的向量，價格上漲，過剩需求下降，walras eq。將得到滿足，這是最佳的，因此效用不會降低。（據我所知，類似的東西）
但我更擔心它與收入和替代效應的關係比瓦爾拉斯法更重要。但我們都同意它不會降低效用水平。但是，我有點堅持它背後的數學證明。
那很棘手。構想如下：首先，在標准假設下，需求是連續的。如果你稍微改變價格，需求不會有太大變化。特別是，如果您對第一種商品的超額需求最初是嚴格為正的，那麼對於價格的微小變化，它仍然是嚴格為正的。現在，稍微提高價格後的新捆綁包在舊價格下可以負擔得起，還有一些錢可以花更多的錢買東西。因此，舊捆綁包必須至少與新捆綁包一樣好，並在頂部添加一些額外的東西，因此比新捆綁包更好。
讓我們正式地說：所以讓 $ p=(p_1,p_2,\ldots,p_n) $ 和 $ p’=(p_1+\epsilon,p_2,\ldots,p_n) $ 和 $ \epsilon>0 $ 我們假設 $ x_1^(p,pw)>w_1 $ 和 $ x_1^(p’,p’w)>w_1 $ . 讓 $ x=(x_1,\ldots,x_n)=x^(p’,p’w) $ . 我們首先證明 $ px<pw. $ 確實， $$ p’x=(p_1+\epsilon)x_1+ p_2 x_2+\cdots+p_nx_n\leq(p_1+\epsilon)w_1+p_2 w_2+\cdots+p_nw_n. $$ $$ (p_1+\epsilon)(x_1-w_1)+ p_2 x_2+\cdots+p_nx_n\leq p_2w_2+\cdots+p_nw_n. $$ $$ p_1(x_1-w_1)+\epsilon(x_1-w_1)+ p_2 x_2+\cdots+p_nx_n\leq p_2w_2+\cdots+p_nw_n. $$ 所以， $$ px=p_1x_1+ p_2 x_2+\cdots+p_nx_n\leq p_1 w_1+p_2w_2+\cdots+p_nw_n-\epsilon~\underbrace{(x_1-w_1)}_{>0}<pw. $$ 現在，我們需要一個假設來保證消費者如果花掉所有的收入會過得更好。然後我們知道消費者在 $ x^(p,pw) $ 他們將在其中花費他們的全部收入 $ pw $ 而不是選擇捆綁 $ x $ , 只需花費 $ pw-\epsilon(x_1-w_1) $ . 保證花費全部收入是最優的假設正是瓦爾拉斯定律的保證。