逆需求彈性
我想知道我的想法是正確的：
給定$$ e=\frac{dQ}{dp}*\frac{p}{Q}, $$在哪裡 $ e $ 是彈性， $ dQ/dp $ 是需求函式的一階導數， $ p $ 是價格和 $ Q $ 是數量。
用這個表達式 $ e $ ，你能不能說：
$$ \frac{dp}{dQ} = \frac{p}{(e*Q)} $$
在哪裡 $ dp/dQ $ 表示逆需求的一階導數。
它是否正確？
我將把需求函式表示為 $ Q(p) $ 逆需求函式為 $ P(q) $ . 然後 $$ \forall q: Q(P(q)) = q $$ 所以對於任何 $ h > 0 $ 和 $ q $ 我們有 $$ \begin{align*} p & := P(q) \ p_h & := P(q+h) \ q & = Q(p) \ q_h & := Q(p_h) = q+h \end{align*} $$ 從衍生品的定義 $$ \frac{\text{d} P(q)}{\text{d} q} := \lim_{h \to 0} \frac{p_h - p}{q_h - q}. $$ 如果這是一個非零實數，那麼確實 $$ \frac{1}{\lim_{h \to 0} \frac{p_h - p}{q_h - q}} = \lim_{h \to 0} \frac{q_h - q}{p_h - p} = \frac{\text{d} Q(p)}{\text{d} p}. $$
有一些技術上的考慮。我們沒有證明 $$ \lim_{h \to 0} p_h - p = 0. $$ 這是真的，如果 $ P $ 是連續的。
我們還假設在 $ q $ 和 $ q+h $ 這兩個函式都是單值的。如果有價格 $ p $ 在哪裡 $ Q(p) = 0 $ 然後 $ \frac{\text{d} P(q)}{\text{d} q} $ 不存在。
是的，對於嚴格遞減需求函式的標準情況 $ Q(p) $ 和需求的價格彈性 $ \epsilon_p(Q)=Q’(p)\frac{p}{Q(p)} $ 逆需求函式 $ p(Q) $ 存在並且由反函式定理 $ p’(Q)=\frac{1}{Q’(p)} $ . 這給 $ p’(Q)=\frac{p(Q)}{\epsilon_p(Q)Q} $ 任何衍生品存在的地方。