Hopkins 和 Kornienko 中的包絡定理 (2010)
這是來自 Hopkins 和 Kornienko (2010)。在這個模型中， $ x $ 是投資， $ s $ 是狀態，並且 $ y=z-x $ 是休閒，在哪裡 $ z $ 是禀賦。 $ x(r) $ 是最優投資，相對投資決定了模型中的地位。在這裡，他們用等級來描述代理， $ r $ ，並導出簡化形式的效用。但是，我不太確定包絡定理在這裡是如何工作的。
如果我區分 $ U(r) $ 關於 $ r $ 並壓制論點，我有 $$ U_x x’ + U_y(y’-x’) + U_s s’. $$ 我知道 $ Z’(r) = \frac{1}{g(Z(r))} $ ， 在哪裡 $ g $ 是密度 $ z $ . 這意味著第一項和第三項和 $ U_yx’ $ 結果為零以使上述等式等於等式（8）。我的理解是 $ U_x = U_s = 0 $ 自從 $ x(r) $ 是最優投資。但是，我不知道如何解釋消除 $ U_yx’ $ . 誰能給我一些幫助？
從最優性的一階條件，我們知道（論文中的方程（4））：
$$ U_x(x,Z(r)-x,S(r))x’(r) - U_y(x,Z(r)-x,S(r))x’(r) + U_s(x,Z(r)-x,S(r))S’(r)=0. $$
區分時 $ {\bf U}(r) $ 關於 $ r $ ，我們找到你的表達方式： $$ U_x(x(r),Z(r)-x(r),S(r))x’(r) + U_y(x(r),Z(r)-x(r),S(r))(Z’(r)-x’(r)) + U_s(x(r),Z(r)-x(r),S(r))S’(r). $$
將第一個方程替換為最後一個方程得到 $$ {\bf U}’(r)=U_y(x(r),Z(r)-x(r),S(r))Z’(r). $$
現在， $ Z’(r)=1/g(Z(r)) $ 給出等式（8）。