偏好連續性定義的等效性
我們對偏好的連續性有兩個定義：
定義 1： $ \succcurlyeq $ 如果對於任何序列是連續的 $ {x^n} \subset X $ 和 $ {y^n} \subset X $ ， 然後 $ n \in \mathbb{N} $ 這樣，
- $ \forall n, \quad x^n \succcurlyeq y^n $
- $ \lim_{n \rightarrow \infty} x^n = x, \quad \lim_{n \rightarrow \infty} y^n = y \quad (\text{where $x, y \in X)$} $
然後 $ x \succcurlyeq y $
和
定義 2： $ \succcurlyeq $ 如果任何時候都是連續的 $ x \succ y $ , $ \exists \ B_x, \ B_y $ , 開球 $ x, y $ , 這樣 $ \forall \ x’ \in B_x, \ y’ \in B_y $ ，那麼我們有 $ x’ \succ y’ $ .
證明下列定義是等價的。
我們想證明 $ \succcurlyeq $ 在 $ X $ ,定義 1 $ \iff $ 定義 2
$ \boxed \Longrightarrow $
假使，假設 $ \succcurlyeq $ 由Def 1連續。
讓我們說 $ x \succ y $ . 將我們的空位球表示為 $ B(x, r) $ , 一個空位球 $ x $ 半徑 $ r $ . 認為 $ \forall n, \ \exists \ x^n \in B(x, \frac{1}{n}), \ y^n \in B(y, \frac{1}{n}) $ 這樣 $ y^n \succcurlyeq x^n $ . 但後來我們建構了 $ {x^n} \rightarrow x $ 和 $ {y^n} \rightarrow y $ , 並由Def 1 , $ y \succcurlyeq x $ ，這是一個矛盾。
$ \boxed \Longleftarrow $
假使，假設 $ \succcurlyeq $ 由Def 2連續。
讓我們進行序列 $ {x^n} \subset X $ 和 $ {y^n} \subset X $ 在哪裡 $ \forall n, \quad x^n \succcurlyeq y^n $ 和 $ \lim_{n \rightarrow \infty} x^n = x, \quad \lim_{n \rightarrow \infty} y^n = y \quad (\text{where $x, y \in X)$} $ 為了 $ n \in \mathbb{N} $ ,
但 $ x \succcurlyeq y $ 是假而不是真。我們想證明這會導致矛盾。
如果 $ x \succcurlyeq y $ 是假的，（所以 $ y \succ x $ ） 然後 $ \exists B_x, B_y $ 這樣 $ \forall y’ \in B_y, x’ \in B_x $ ， 我們有 $ y’ \succ x’ $ . 因為 $ {x^n} \rightarrow x, {y^n} \rightarrow y $ ， 那裡存在 $ N $ 足夠大，使得 $ \forall n>N $ ， 我們有 $ y^n \in B_y, x^n \in B_x $ .
因此 $ \forall n > N $ ， 我們有 $ y^n \succ x^n $ , 這與 $ \forall n, \ x^n \succcurlyeq y^n $ .