存在理性但不連續的偏好的效用表示
我認為上述連結問題的標題的措辭掩蓋了一個微妙不同但更有趣的問題，OP也在正文中暗示了這個問題。我想在這裡明確地問這個問題。
是否存在可以由（可能不連續的）效用函式表示的理性但不連續的偏好關係？
換句話說，如果 $ \succsim $ 滿足完整性和傳遞性但違反連續性，我們還能找到一個效用函式來表示它嗎？
從已知結果來看，答案似乎並不明顯。
- 我們知道，當且僅當偏好是完整的、傳遞的和連續的時，連續效用表示存在。但這並沒有告訴我們當偏好不連續時會發生什麼。
- 我們知道，對於一些不連續的偏好（例如字典偏好） ，**效用表示不存在。**但是這個結論可以推廣嗎？
最後，我想指出，對於 $ \succsim $ 違反連續性意味著我們排除了有限的（和可數的？）域。
我認為一個基本問題是任何效用函式都定義了偏好，而不連續的效用函式可以用來定義不連續的偏好。因此，有許多不連續的偏好可以用效用函式來表示。一個例子：
讓 $ U(x,y) $ 是一個連續效用函式，映射自 $ \mathbb{R}^2 $ 到 $ (0,1) $ . 後者似乎是任意的，但嚴格的單調遞增函式 $ \frac{x}{x+1} $ 地圖來自 $ \mathbb{R}_{++} $ 到 $ (0,1) $ ，所以應該沒問題。還定義一個封閉集 $ H \subset \mathbb{R}^2 $ . 讓
$$ \hat{U}(x,y)
\left{ \begin{array}{ll} U(x,y) & \mbox{if} (x,y) \notin H \ \ U(x,y)+1 & \mbox{if} (x,y) \in H. \end{array} \right. $$ 明顯地 $ \hat{U}(x,y) $ 不是連續的，偏好也不是由它定義的。（的邊界 $ H $ 比外面的任何東西都更受歡迎 $ H $ .) 但是這些偏好的產生方式似乎相當普遍。因此，存在一大類不連續的偏好，它們有一個效用表示。 未來的問題：這個類有多“大”，可以使用什麼度量？
編輯：正如@NicolasPinto 在他的回答中指出的那樣，還需要指定 $ H $ 是這樣的
$$ \exists x \in H, \exists y \notin H: y \succ x, $$ 所以 $ H $ 不是某個點的上輪廓集，否則 $ U(x,y) $ 和 $ \hat{U}(x,y) $ 實際上將代表相同的連續偏好。