期望效用函式和完全保險

Bob 是一個具有效用函式的期望效用最大化器 $ u(x) = −e^{−ax} $ ， 在哪裡 $ a > 0 $ 是一個參數。鮑勃有錢 $ w $ . 世界有兩種狀態，一種是好的狀態，一種是壞的狀態。狀態不好的機率是 $ π $ . 如果狀態不好，Bob 就會生病，需要花費一筆錢 $ L $ 關於他的健康。有一份健康保險單可以全額支付生病時的醫療保健費用。保單價格為 $ P $ .

1. 求 Bob 的絕對風險厭惡係數
2. 找到最高價格 $ \overline{P} $ Bob 願意支付保險費
3. 如何 $ \overline{P} $ 隨參數 w、L 和 π 而變化

所以我的第一個嘗試是作為絕對風險厭惡係數

1. $ u’(w)= ae^{-aw} $

$ u’’(w)= -a^2e^{-aw} $

因此 $ A(w) = \frac{-a^2e^{-aw}}{ae^{-aw}} = a $

2. $ \max_P \pi u(w-L-P+L)+(1-\pi)u(w-P) $

$ =\max_P \pi u(w-P)+(1-\pi)u(w-P) $

$ =\max_P u(w-P) $

從這裡我覺得這很奇怪，我知道這是完全保險，但是當優化方程像這樣出現時，你如何進行？

同樣對於問題 3，您將如何根據 L 找到 P 的變化和 $ \pi $ ，如果它就這樣被刪除。請幫助經濟天才。

第 2 部分提示：比較 Bob 沒有保險時的預期效用（將其視為 $ P=0 $ ) 並且當他以價格購買全額保險時 $ P $ . 為了優先購買保險， $ P $ 必須是這樣的，他有保險不會比沒有保險更糟。 $ \overline P $ 是讓他無所謂有沒有保險的代價。

第 3 部分的提示：在第 2 部分中，您應該得到 $ \overline P $ 作為一個函式 $ L, w, \pi $ . 簡單地對這些變數取偏導數來檢查它們的影響。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/51129