具有期望值和變異數的期望效用
我對 Ariel Rubinstein 的書《微觀經濟理論講義》中的一個問題有疑問。這是問題集 7 中的問題 2。問題如下：
證明效用函式 $ u(L) = \mathbb E(L) - (\mathbb E(L))^2 - var(L) $ 與 vNM 假設一致。
在哪裡 $ \mathbb E(L) $ 和 $ var(L) $ 分別是彩票的期望值和變異數。
所以這就是我的想法：我們知道以下一組含義 $$ \text{Function is linear} \implies \text{Has the expected utility form} \implies \succsim \text{satisfies vNM assumptions.} $$
所以，足以證明 $ u(L) $ 是線性的。據我們所知 $ var(L) = \mathbb E(L^2) - (\mathbb E(L))^2 $ ，讓我們重寫我們的效用函式。
$$ u(L) = \mathbb E(L) - (\mathbb E(L))^2 - (\mathbb E(L^2) - (\mathbb E(L))^2) = \mathbb E(L) - \mathbb E(L^2). $$
抽兩張彩票， $ L $ , $ M $ . 我們應該有
$$ U(\alpha L + (1 - \alpha)M) = \alpha U(L) + (1-\alpha ) U(M) \qquad \alpha \in [0,1]. $$
所以，$$ U(\alpha L + (1 - \alpha)M) = \mathbb E(\alpha L + (1 - \alpha)M) - \mathbb E((\alpha L + (1 - \alpha)M)^2) = \alpha \mathbb E(L) + (1-\alpha)\mathbb E(M) - \alpha^2 \mathbb E(L^2) - 2\alpha (1 - \alpha)\mathbb E(LM) - (1 - \alpha)^2 \mathbb E(M^2). $$
但以上不等於$$ \alpha U(L) + (1-\alpha ) U(M) = \alpha (\mathbb E(L) - (\mathbb E(L))^2) + (1 - \alpha)(\mathbb E(M) - (\mathbb E(M))^2). $$
大家能幫我看看我哪裡做錯了嗎？
雖然當且僅當函式是線性的（在機率上）時，函式具有預期效用形式是正確的，但並非任何線性函式都可以表示滿足 vNM 公理的偏好。期望效用定理簡單地說，當偏好滿足 vNM 公理時，存在一個表示它的線性效用函式。該定理並沒有特別說明所有線性效用函式都代表滿足公理的偏好。
此外，正如@Giskard 所提到的，vNM 一致偏好的實用程序表示不必採用預期的實用程序形式。例如，如果 $ 𝑈(𝐿) $ 是表示 vNM 一致偏好的線性期望效用函式，則 $ 𝑉(𝐿)=[𝑈(𝐿)]^2 $ 是表示相同偏好的另一個效用函式，除了它是非線性（或非 vNM）預期效用函式。