外部性 - 一階條件
我目前正在獨自閱讀考威爾的《微觀經濟學：原理與分析》一書。我正在閱讀外部性章節，我發現了一個有趣的例子：
只有兩家公司：公司 1 是污染者，公司 2 是受害者。公司 2（受害者）向公司 1 提出附帶支付或賄賂的提議。賄賂的金額取決於公司 1 產生的產出量：污染越大，賄賂越小；所以我們將賄賂建模為遞減函式 β(·)。
優化問題是
我的問題是他們是如何到達這些 FOC 的？
更新：此優化的第二部分是從公司 1 的角度來看問題，如下所示： 現在從公司 1 的角度來看問題。一旦受害公司提出有條件賄賂，公司 1 應該考慮到這一點。所以它的利潤一定是這樣的
這來自 FACowell - 微觀經濟學 - 原理和分析 p.444-445
為了確保它完全明確：下面的上標是指任何一家公司的指數 $ 1 $ 或堅定 $ 2 $ .
這個問題的選擇變數是 $ \mathbf{q}^2 $ 和 $ \beta $ . 請注意 $ \mathbf{q}^2 $ 是一個向量 $ n $ 數量。也就是說， $ \mathbf{q}^2=\left(q_1^2,q_2^2,\ldots,q_n^2\right) $ .
$ (13.9) $ 只是目標函式的導數 $ (13.8) $ 關於 $ q_i^2 $ . 請注意，您可以重寫目標函式 $ (13.8) $ 作為
$$ p_1q_1^2+p_2q_2^2+\cdots+p_iq_i^2+\cdots+p_nq_n^2-\beta\left(q_1^1\right)-\mu_2\Phi^2\left(q_1^2,\ldots,q_i^2,\ldots,q_n^2 ,q_1^1\right) $$ 對此進行區分 $ q_i^2 $ 並將其設置為 $ 0 $ 給我們
$$ p_i - \mu_2 \frac{\partial\Phi^2 \left( \mathbf{q}^2,q_1^1 \right)}{\partial q_i^2} = 0 $$ 在考威爾的符號中， $ \Phi^2_i $ 只是導數 $ \Phi^2 $ 關於 $ q_i^2 $ .
第二個一階條件是目標函式關於 $ \beta $ . 自從 $ \beta(\cdot) $ 是一個減函式 $ q_1^1 $ ，我們也可以想到 $ q_1^1 $ 作為的減函式 $ \beta $ . （正式地， $ q_1^1 $ 是的倒數 $ \beta $ ，這是明確定義的，因為 $ \beta $ 正在減少。直覺地說，如果堅定 $ 2 $ 以公司為條件行賄 $ 1 $ 的產出水平，然後堅定 $ 1 $ 的輸出選擇也取決於賄賂的數量。）
因此，應用鍊式法則，目標的導數 $ \beta $ 是
$$ -1 -\mu_2\frac{\partial\Phi^2 \left( \mathbf{q}^2,q_1^1 \right)}{\partial q_1^1} \frac{dq_1^1}{d\beta}=0 $$ 不幸的是，這與考威爾並不完全相同。但是請注意 $ \frac{dq_1^1}{d\beta}<0 $ ，所以也許他正在使用該導數的絕對值來消除前面的減號 $ \mu_2 $ .