找到一個完美的貝氏均衡
兩個賣家中的每一個， $ 1 $ 和 $ 2 $ 擁有一個買家想要購買的不可分割的物品。這兩個對像是相同的。買方的估價取決於他獲得的物品數量。兩個對像中的任何一個的估值是 $ 0.7 $ 而這兩個對象的估值一起是 $ 1 $ . 賣方 $ i $ 對他的對象的估價是 $ 0 $ ( $ i $ = $ 1 $ , $ 2 $ ).
考慮以下討價還價遊戲。期間 $ 1 $ ， 賣方 $ 1 $ 提出接受或離開 ( TIOLI ) 報價 $ s_{1} $ $ \geq $ $ 0 $ 給買方。如果買方接受了報價，他得到了對象並付款 $ s_{1} $ . 如果買方拒絕報價，則沒有交易。賣方 $ 2 $ 不觀察期間發生的事情 $ 1 $ , 期間 $ 2 $ , 賣家 2 提出TIOLI報價 $ s_{2} $ .
每個賣方的收益等於他從買方那裡收到的價格。買方的收益等於他獲得的物品的估價與他支付的價格之間的差額。
找到這個遊戲的完美貝氏均衡。
在第二階段，買方接受任何報價 $ s_{2} $ $ \leq $ $ 0.7 $ 如果他拒絕了第一個報價和任何報價 $ s_{2} $ $ \leq $ $ 0.3 $ 如果他接受了第一個報價。
鑑於此，對於第二個賣家來說，只有兩個報價可能是最佳的：要麼 $ s_{2} $ $ = $ $ 0.3 $ 或者 $ s_{2} $ $ = $ $ 0.7 $ . 讓 $ \mu $ 表示第二個賣方分配給買方拒絕第一個報價這一事實的機率。第二階段的最優報價是：
$$ \begin{equation} s_{2}=\left{ \begin{array}{@{}ll@{}} 0.3 & \text{if}\ \mu < \frac{3}{7} \ 0.7 & \text{if}\ \mu > \frac{3}{7} \ \end{array}\right. \end{equation} $$ 之間的任何隨機化 $ 0.3 $ 和 $ 0.7 $ $ \text{if}\ \mu = \frac{3}{7} $
假設均衡是買方拒絕第一個報價。在第二階段，第二個賣家將提供 $ s_{2} = 0.7 $ 並且買方的收益等於 0。因此，買方應接受任何小於 $ 0.7 $ （買方可以通過接受第一個報價並拒絕第二個報價來保證積極的回報）。但是第一個買家應該提供 $ s_{1} < 0.7 $ 並獲得積極的回報。換句話說，我們已經證明不存在買方拒絕第一個報價的 PBE。
現在讓我們看看我們是否可以建構一個買方接受第一個報價的均衡。在這種情況下 $ s_{2} = 0.3 $ . 這意味著買方只有在以下情況下才會接受第一個報價 $ s_{1} < 0.3 $ （事實上，通過拒絕第一個報價並接受第二個報價，買方保證了等於 $ 0.4 $ ）。最後，考慮到這一點，第一個賣家提供是最優的 $ s_{1} = 0.3 $ 綜上所述，我們有以下純策略 PBE。
第一個賣家提供 $ s_{1} = 0.3 $ 在第一階段，買方接受一個供應當且僅當 $ s_{1} = 0.3 $
在第二個時期，第二個賣家分配機率 $ \mu = 0 $ 買方拒絕了第一個報價的事實。因此，第二個賣家提供 $ s_{2} = 0.3 $
最後，上面介紹了第二期買方的策略。