找到一組帕累託有效分配

有兩個人和兩種物品的交換經濟。

實用功能是

$ u_A(x_A, y_A)=\max{x_A, y_A} $

$ u_B(x_B, y_B)=\max{x_B, y_B} $

禀賦是 $ w_A(1,\alpha) $ 和 $ w_B(1,\alpha) $ 為了 $ \alpha >0 $

找到一組帕累託有效分配並將它們顯示在 Edgeworth 框中。

——

為此，我考慮了三種情況 $ \alpha $

情況1： $ \alpha=1 $

然後我們畫出方形的edgeworth box。帕累託有效分配只有 { $ (0,2),(2,0) $ } 和 { $ (2,0),(0,2) $ }。

案例二： $ \alpha >1 $ . 讓我們假設 $ \alpha=2 $

然後我們繪製矩形Edgeworth盒子。帕累託有效分配是

{ $ (0,2),(2,2) $ } 和 { $ (2,2),(0,2) $ 以及兩個分配之間的所有點。（圖中綠線）。

案例3： $ \alpha <1 $ . 讓我們假設 $ \alpha=1/2 $

然後我們繪製矩形Edgeworth盒子。帕累託有效分配是

{ $ (1,0),(1,1) $ } 和 { $ (1,1),(1,0) $ 以及兩個分配之間的所有點。（圖中綠線）。

很抱歉手寫圖片，但無法以乳膠格式繪製。案例 1 是簡單版本。但是，我不確定案例 2 和案例 3。（ $ \alpha>1 $ 和 $ \alpha<1 $ ）。我認為我發現的帕累託有效分配對於案例 2 和 3 是錯誤的。這些對我來說似乎不合邏輯。請與我討論正確的帕累托最優分配。非常感謝。

我們將考慮三種情況：

• 為了 $ \alpha \in [\frac{1}{2}, 2] $ ，只有兩個帕累託有效分配： $ \big{\big((2,0),(0,2\alpha)\big), \big((0,2\alpha),(2,0)\big) \big} $
• 為了 $ \alpha > 2 $ , 一組帕累託有效分配是 $ \big{\big((2,0),(0,2\alpha)\big), \big((0,2\alpha),(2,0)\big) \big} \bigcup \big{\big((x_A,y_A),(x_B,y_B)\big)\in F: y_A > 2, y_B > 2 \big} $ ， 在哪裡 $ F $ 表示所有可行分配的集合。
• 為了 $ \alpha < \frac{1}{2} $ , 一組帕累託有效分配是 $ \big{\big((2,0),(0,2\alpha)\big), \big((0,2\alpha),(2,0)\big) \big} \bigcup \big{\big((x_A,y_A),(x_B,y_B)\big)\in F: x_A > 2\alpha, x_B > 2\alpha \big} $ ， 在哪裡 $ F $ 表示所有可行分配的集合。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/52584