在 3 種商品的情況下尋找帕累托最優分配和瓦爾拉斯均衡分配
我們有3人3貨
$$ U_A(x,y,z)=x_Ay_Az_A^2 $$
$$ U_B(x,y,z)=x_B^2y_Bz_B $$
$$ U_C(x,y,z)=x_Cy_C^2z_C $$
禀賦是 $ W_A= (1,1,1) $
$ W_B= (2,1,3) $
$ W_C= (1,5,1) $
由於存在三種商品，我感到困惑
在兩種商品的情況下，我可以找到 MRS= $ \partial U_x/\partial U_y $
現在，如何找到 MRS 以獲得帕累托最優分配和瓦爾拉斯均衡？
任何幫助將不勝感激。謝謝你。
帕累托最優：
由於在您的情況下偏好是凸的，因此您可以以相同的方式找到帕累托最優。你需要解決 $ \text{MRS}^{A}{v,w} = \text{MRS}^{B}{v,w} = \text{MRS}^{C}_{v,w} $ 在哪裡 $ {v,w : v \neq w} \subset {x,y,z} $ .
之所以有效，是因為您可以最大化 $ U_A $ 受制於 $ U_B = \overline{u_B} $ 和 $ U_C = \overline{u_C} $ 其他兩個代理也是如此。由於您的效用函式是凸的，因此當您設置拉格朗日時，您會發現 MRS 必須彼此相等。
瓦爾拉斯均衡：
您必須解決以下（三個）最大化問題：$$ \max [U_P(x_P,y_P,z_P)] \text{ subject to } p_xx_P + p_y y_P + p_z z_P = p_x w_x^A + p_y w_y^A + p_z w_z^A $$
對於每個 $ P \in {A, B, C} $ . 您將能夠找到 $ p_x : p_y : p_z $ 和分配。
此外，由於第一福利定理，您可以驗證這些點是否位於帕累托最優集中。