尋找子博弈完美均衡
問題的主要部分如下
（如果你看不懂，我可以馬上寫）
我的問題是如何為這兩種情況找到子博弈完美納什均衡 $ \bar{g_2}\ge \bar{g_1} $ 和 $ \bar{g_2}< \bar{g_1} $
我的嘗試是
對於公司 2
$$ max [f_2(G)-c_2(g_2)] $$ $$ max [\beta ln(g_1+g_2)-g_2] $$ 通過 FOC
$$ \beta / (g_1+g_2)- 1=0 $$ $$ g_2=\beta -g_1 $$ 對於公司 1
$$ max [f_2(G)-c_2(g_2)] $$ $$ max [\theta ln(g_1+\beta -g_1)-g_1] $$ 我無法獲得 FOC $ g_1 $
在這一點上，我被困住了。我該如何進行此解決方案？
我還有一個問題
對於同一個問題，我假設以下部分
再次，我需要找到這個博弈的子博弈完美納什均衡，其中參與者 1 貢獻了正數量的公共產品。？
抱歉，我不能完全完成這部分。任何幫助將不勝感激。
由於我無法理解 SPE 的此類問題，所以我問了很多時間。謝謝。
首先驗證 $ \overline{g}_1 = \theta $ 和 $ \overline{g}_2 = \beta $ . 我們現在將為所有可能的值找到子博弈完美平衡 $ (\theta, \beta) $ 令人滿意的 $ \theta > \beta> 1 $ .
為此，我們首先將玩家 2 的收益最大化，以考慮給定玩家 1 的貢獻：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{g_2 \geq 0} & \ \beta\ln (g_1+g_2)- g_2 \end{eqnarray*} $$ 我們得到了作為參與者 1 貢獻函式的參與者 2 的最佳響應策略：
$$ \begin{eqnarray*} g_2 = \max(\beta - g_1, 0) \end{eqnarray*} $$ 接下來，以給定玩家 2 的策略解決玩家 1 的收益最大化問題
$$ \begin{eqnarray*} \max_{g_1 \geq 0} & \ \theta\ln (g_1+g_2)- g_1 \ \text{s.t.} & \ g_2 = \max(\beta - g_1, 0)\end{eqnarray*} $$ 我們得到
$$ \begin{eqnarray*} g_1^* = \begin{cases} 0 & \text{if } \theta < e\beta \ \theta & \text{if } \theta \geq e\beta\end{cases} \end{eqnarray*} $$ 因此，參與者 2 在子博弈完美結果中的貢獻為
$$ \begin{eqnarray*} g_2^* = \begin{cases} \beta & \text{if } \theta < e\beta \ 0 & \text{if } \theta \geq e\beta\end{cases} \end{eqnarray*} $$ 對於下一個，玩家 2 的成本是
$$ \begin{eqnarray*} c_2(g_2) = \begin{cases} g_2 & \text{if } g_1 \geq \overline{g}_1 = \theta \ \lambda g_2 & \text{if } g_1 < \overline{g}_1 = \theta\end{cases} \end{eqnarray*} $$ 首先驗證在這種情況下 $ \overline{g}_1 = \theta $ 和 $ \overline{g}_2 = \dfrac{\beta}{\lambda} $ . 我們現在將為所有可能的值找到子博弈完美平衡 $ (\theta, \beta, \lambda) $ 令人滿意的 $ 1 <\theta \leq \dfrac{\beta}{\lambda} < \beta $ .
為此，我們首先將玩家 2 的收益最大化，以考慮給定玩家 1 的貢獻：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{g_2 \geq 0} & \ \beta\ln (g_1+g_2)- c_2(g_2) \end{eqnarray*} $$ 我們得到了作為參與者 1 貢獻函式的參與者 2 的最佳響應策略：
$$ \begin{eqnarray*} g_2 = \begin{cases} \dfrac{\beta}{\lambda} - g_1 & \text{if } g_1 < \overline{g}_1 = \theta \ \max\left({\beta} - g_1, 0\right) & \text{if } g_1 \geq \overline{g}_1 = \theta \end{cases} \end{eqnarray*} $$ 接下來，以給定玩家 2 的策略解決玩家 1 的收益最大化問題
$$ \begin{eqnarray*} \max_{g_1 \geq 0} & \ \theta\ln (g_1+g_2)- g_1 \ \text{s.t.} & \ g_2 = \begin{cases} \dfrac{\beta}{\lambda} - g_1 & \text{if } g_1 < \overline{g}_1 = \theta \ \max\left({\beta} - g_1, 0\right) & \text{if } g_1 \geq \overline{g}_1 = \theta \end{cases}\end{eqnarray*} $$ 我們得到
$$ \begin{eqnarray*} g_1^* = \begin{cases} 0 & \text{if } \lambda < e \ \theta & \text{if } \lambda \geq e\end{cases} \end{eqnarray*} $$ 因此，參與者 2 在子博弈完美結果中的貢獻為
$$ \begin{eqnarray*} g_2^* = \begin{cases} \dfrac{\beta}{\lambda} & \text{if } \lambda < e \ \beta - \theta & \text{if } \lambda \geq e\end{cases} \end{eqnarray*} $$