尋找帕累託有效分配
考慮一個有私人物品的 2 人 2 物品經濟 $ x $ 和公共物品 $ y $ . 代理人 1 擁有 10 單位的私人物品禀賦，代理人 2 擁有 20 單位的私人物品。最初，經濟中沒有公共產品。為了生產 $ y $ 公益單位， $ y^2 $ 應該使用私人物品的單位。也就是說，代價函式是 $ c(y)=y^2 $ .
代理的實用功能如下；
$$ u_1(x_1,y)=x_1+y $$ $$ u_2(x_2,y)=x_2y $$
首先，我需要找到生產 4 個公共物品單位的帕累託有效分配。
其次，我需要找到兩個代理人的私人消費以及均衡的公共物品水平。
——
為了找到帕累託有效分配，我最大化兩個代理人的收益總和
$$ max{ u_1(x_1,y)+ u_2(x_2,y)-c(y)} $$
一階條件相對於 $ y $ 是 $ 6+x_2-2y=0 $
所以，我發現 $ x_2=2\times 4-6=2 $
但我的嘗試是不正確的。我無法做出正確的解決方案。如果您能幫助我解決這個問題的各個部分，我將不勝感激。
讓 $ y_i $ 是代理人 i 對生產的貢獻 $ y $
$ y=\sqrt{\sum y_i} $
所以當 $ y=4 $ $ \Rightarrow \sum y_i=16 \Rightarrow \sum x_i = 14 $
帕累託有效分配的集合是 $ {(x_1,x_2):x_1+x_2=14,x_1 \in [0,10], x_2 \in [0,20]} $
物品的私人消費將與禀賦相同，公共物品的提供將 $ 0 $ 處於平衡狀態。
原因：
$ max_{{x_1,y_1}: x_1 + y_1 = 10} x_1 + \sqrt{\sum y_i} $
$ \Rightarrow \frac{39}{4} + y_{2} = x_{1} $
$ max_{(x_2, y_2):x_2+y_2=20} x_2 \sqrt{\sum y_i} $
$ \Rightarrow x_2= \frac{1}{3}(2y_1 + 40) $
讓私人物品的價格成為 $ 1 $ . 給定代理的效用函式 $ 1 $ 這意味著 $ y_1=y \Rightarrow y_2=y^2 - y $ 顯然，上述方程組沒有真正的解。所以均衡是不存在的。
編輯：平衡將是什麼時候 $ x_1=10, y_1=0, x_2=\frac{40}{3},y_2=\frac{20}{3} $ 學分：阿格里姆拉納