具有離散價值的第一價格對稱拍賣
我一直在嘗試解決以下問題，但我似乎不太理解它，或者第一名拍賣的整個概念。我不明白我們如何達到平衡。
問題如下：“考慮一個第一價密封投標拍賣，其中投標人的估價可以取三個值之一：5、7 和 10，發生機率分別為 0.2、0.5 和 0.3。有兩個投標人，其估價由 Nature 獨立得出。在每個投標人了解她的估價後，他們同時選擇一個要求為正整數的投標。如果投標人輸掉拍賣，則投標人的收益為零，如果投標人的估價減去她的投標，則為她贏了。確定投標人在其估值為 5 時投標 4、在其估值為 7 時投標 6、在其估值為 10 時投標 9 是否是對稱貝氏-納什均衡。
在這種情況下，我們有離散的出價和離散的估值，以及每個的不同機率。有人可以幫我理解這個問題嗎？
假設您是投標人之一，並將另一個人的策略固定為假定的策略。你的回報將是 $ \mbox{Pr(winning the auction, i.e., b>b’)}(v-b) $ ，b 是您的出價，b’ 是對方的出價，v 是您的估價（或類型）。
現在，假設您是 5 型玩家。
如果您出價小於 4 的整數，您肯定會輸，因為其他玩家出價更高，而不管他們的類型如何。因此，您的預期收益為 0。
如果您出價 4，（我們假設）如果另一個是類型 5（因此出價 4），那麼您以 0.5 的機率獲勝，並且在其他情況下都輸了。因此，您的預期收益是 $ 0.20.5(5-4) = 0.1 $ .
如果您出價 5，則您的獲勝收益為零，因此您的預期收益在任何情況下都將為零。
如果您出價超過 5，則您在獲勝時會虧損，從而使預期收益為負數。
因此，當是類型 5 時出價 4 是最佳響應（在這個有限的出價空間下！）。
同樣，想像一下自己是 7 型投標人。低於 3 的出價會讓你輸掉拍賣，而出價 7 或更多似乎不是一個好主意（見上文）。現在計算出 4（同上，但中獎收益更高）、出 5（肯定會贏類型 5，但會輸給其他類型）、出價 6（肯定會贏類型 5，但會贏類型 7）的獲勝機率只有機率為 0.5)。接下來，你重複第 10 類的練習。如果你沒有找到一個有利可圖的偏差，你就得到了一個均衡。