對於任何小的擾動 dx，效用不能改變，否則 x* 不會是最優的
我無法理解 Varian 在“微觀經濟分析：第三版”中所說的內容。對於那些手邊有這本書的人，我所提出的問題是關於第 7 章（Utility Max）第 101 頁上所說的內容。
那個設定。認為 $ \mathbf{x} $ * 是最優消費束。現在假設我們有一個小的擾動 $ \mathbf{dx} $ 的 $ \mathbf{x} $ ，這樣我們仍然處於預算約束（所以我們增加一種商品的消費，減少另一種商品的消費）。所以我們有 $$ \mathbf{p}(\mathbf{x}^{} \pm \mathbf{dx})=m $$ 在哪裡 $ \mathbf{p} $ 是價格向量和 $ m $ 是收入。自從 $ \mathbf{px}=m $ , 我們可以推斷 $ \mathbf{pdx} $ =0。那是 $ \mathbf{dx} $ 正交於 $ \mathbf{p} $ .
到目前為止，一切都說得通。沒有意義的是下一部分說明任何擾動 $ \mathbf{x} $ *，效用不能改變，否則這個消費包不會是最優的。
問題可能是當我想像這個問題時，我想像 $ \mathbf{dx} $ 是預算線上的一些小向量，從 $ \mathbf{x} $ * 並在不遠的地方結束 $ \mathbf{x}^{} $ . 所以即使我們在 $ \mathbf{x}^{} $ ，沿著預算約束的任何偏差不會使我們處於一條稍小的無差異曲線上嗎？
先感謝您！
它基本上是對一階條件的重述——在表現良好的函式的極值（最大值或最小值）處，它的一階導數為零。
如果您處於最大化點，任何偏差都應該對您沒有好處或違反某些約束。通過連續性，這意味著除非您受到約束，否則在最佳點處偏差的邊際收益應該是 $ 0 $ . 因為我們選擇了子空間 $ p\mathbf{x} = m $ , 在其中偏離不能違反任何約束，因此這意味著偏離的邊際收益是 $ 0 $ .
我們可以將最優捆綁描述為優化問題的解決方案： $$ \begin{align*} \mathbf{x^} &= \arg\max_{\mathbf{x} \in \mathbb{X}} u(\mathbf{x})\ &\text { s.t. } \mathbf{p}\mathbf{x} = m \end{align} $$ 由此我們可以很容易地推導出 FOC： $$ \mathbf{D} u(\mathbf{x}^) = \lambda \mathbf{p} $$ 假設 $ \mathbf{p}(\mathbf{x^}+d\mathbf{x})=m $ ，我們明白了 $ \mathbf{p}d\mathbf{x} = 0 $ . 所以， $$ \mathbf{D} u(\mathbf{x}^*)d\mathbf{x} = \lambda \mathbf{p}d\mathbf{x} = 0 $$