對於兩種商品的情況，給出一個偏好的例子，該偏好由一個允許胖無差異曲線的連續效用函式表示

由於無差異曲線具有單調性，因此標題中的問題聽起來像是一個技巧問題，因此對於兩個商品 x 和 y，強單調性意味著 y > x。

您可以通過規定曲線下的面積來回答這個問題嗎？

$$ u(x, y) = 2 $$ 是具有粗無差異曲線的連續效用函式的簡單範例。

$$ \begin{eqnarray*} u(x, y)= \begin{cases} x & x < 1 \ 1 & 1 \leq x < 2 \ x - 1 & x \geq 2 \end{cases} \end{eqnarray*} $$

是另一個具有粗無差異曲線的連續效用函式 $ u=1 $ .

一個只具有離散量的效用函式怎麼樣。這採用離散值，但允許連續輸入。

$$ U(x,y) = (floor(x))^{\alpha} \cdot (floor(y))^{1-\alpha} $$

   import numpy as np
   import seaborn as sns
   import pandas as pd
   import matplotlib.pyplot as plt

   x = np.arange(0, 10, 0.01)
   y = np.arange(0, 10, 0.01)
   alpha = 0.7

   xv, yv = np.meshgrid(x, y)

   def U(x1,y1, alpha1):
       return(np.floor(x1)**alpha1 * np.floor(y1)**(1-alpha1))

   uv = U(xv,yv, alpha)

   fig, ax = plt.subplots()
   CS = ax.contourf(xv, yv,uv, levels=np.unique(uv))
   ax.set_xlabel('x')
   ax.set_ylabel('y')
   plt.colorbar(CS)
   plt.show()

如果它必須是強單調和可微的，那麼不，我相信這是不可能的。如果給定消費束，則稱代理人的偏好是強單調的 $ x $ ，代理偏好所有消費束 $ y $ 具有更多至少一種商品，而不是更少的任何其他商品。那是 $ y\geq x $ 和 $ y\neq x $ 意味著 $ y\succ x $ . 如果這是一個連續且可微的效用函式，那麼這意味著： $$ \frac{\partial U}{\partial X_{i}} > 0 : \forall i $$ 這意味著無差異曲線不可能是胖的。考慮在一條細的無差異曲線上，保持固定的 x，將 y 增加一個無窮小量。這將增加效用 $ \frac{\partial U}{\partial y} $ ，我們剛才規定是正數。因此，您必須移動到更高的無差異曲線上，因此它在 y 方向上並不“胖”。類似地，在固定 y 的 x 方向上採取一個無窮小的步驟，可以增加效用 $ \frac{\partial U}{\partial x} $ ，我們也剛剛規定是正數。所以這個效用函式不能有胖的無差異曲線。

我不確定這對於不可微的效用函式是否也適用。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/33595