壟斷對什麼需求函式最有害？
考慮一家邊際成本為零的公司。如果它免費提供產品，那麼所有的需求都得到了滿足，社會福利將盡可能地增加；稱之為增加 $ W $ .
但由於企業是壟斷企業，它會減少需求並提高價格以優化其收入。現在社會福利增加的幅度較小，比如說， $ V $ .
將福利的相對損失（無謂損失）定義為： $ W/V $ . 這個比率取決於需求函式的形狀。所以我的問題是：這個比率是有界的，還是可以任意大？尤其：
- 如果 $ W/V $ 是有界的，那麼它對於什麼需求函式是最大化的？
- 如果 $ W/V $ 是無界的，那麼對於什麼需求函式族可以任意變大呢？
這是我到目前為止所嘗試的。讓 $ u(x) $ 是消費者的邊際效用函式（也是逆需求函式）。假設它是有限的、平滑的、單調遞減的，並且縮放到域 $ x\in[0,1] $ . 讓 $ U(x) $ 成為它的反導數。然後：
- $ W = U(1)-U(0) $ , 下的總面積 $ u $ .
- $ V = U(x_m)-U(0) $ ， 在哪裡 $ x_m $ 是壟斷企業生產的數量。這是下面的區域 $ u $ 除了“無謂損失”部分。
- $ x_m = \arg \max (x \cdot u(x)) $ = 使生產者的收入最大化的數量（標記的矩形）。
- $ x_m $ 通常可以使用一階條件計算： $ u(x_m) = -x_m u’(x_m) $ .
感受一下如何 $ W/V $ 行為，我嘗試了一些函式族。
讓 $ u(x)=(1-x)^{t-1} $ ， 在哪裡 $ t>1 $ 是一個參數。然後：
- $ U(x)=-(1-x)^{t}/t $ .
- 一階條件給出： $ x_m=1/t $ .
- $ W=U(1)-U(0) = 1/t $
- $ V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t $
- $ W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}] $
什麼時候 $ t\to\infty $ , $ W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58 $ ，所以對於這個家庭， $ W/V $ 是有界的。
但是其他家庭怎麼辦？這是另一個例子：
讓 $ u(x)=e^{-t x} $ ， 在哪裡 $ t>0 $ 是一個參數。然後：
- $ U(x)=-e^{-t x}/t $ .
- 一階條件給出： $ x_m=1/t $ .
- $ W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t $
- $ V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t $
- $ W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1}) $
什麼時候 $ t\to\infty $ ， 再次 $ W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58 $ ，所以又來了 $ W/V $ 是有界的。
第三個例子，我必須用數字來解決：
讓 $ u(x)=\ln(a-x) $ ， 在哪裡 $ a>2 $ 是一個參數。然後：
- $ U(x)=-(a-x)log(a-x)-x $ .
- 一階條件給出： $ x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m) $ . 使用這個desmos圖，我發現 $ x_m \approx 0.55(a-1) $ . 當然，此解決方案僅在以下情況下有效 $ 0.55(a-1)\leq 1 $ ; 否則我們得到 $ x_m=1 $ 並且沒有無謂損失。
- 使用相同的圖表，我發現 $ W/V $ 正在減少 $ a $ ，所以它的上限值是 $ a=2 $ , 約為 1.3。
是否存在另一類有限函式 $ W/V $ 可以無限增長嗎？
需求曲線應出現任意大的比率
$ P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \ \end{cases} $ .
壟斷價格為 $ P=1 $ ，但消費者剩餘如果 $ P=0 $ 是無限的，因為需求曲線下的面積包含 $ \int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty $ .