GARP 和 SARP 假設單調性？
單調性意味著決策者更喜歡更多的商品而不是更少的商品。教科書中沒有提到 SARP 和 GARP 隱含地假定單調性。
GARP：如果 $ a $ 間接地揭示了偏好 $ b $ ， 然後 $ b $ 不直接透露嚴格優選 $ a $ .
SARP：如果 $ a $ 間接地揭示了偏好 $ b $ ， 和 $ a\neq b $ ， 然後 $ b $ 不間接透露首選 $ a $ .
因為 $ aRb $ （直接透露）是什麼意思 $ ap_a\geq bp_a $ 和 $ aR_sb $ （直接顯露嚴格）是指 $ ap_a>bp_a $ ，如果我們假設價格為正，這是否意味著單調性？
由於Afriat 定理，沒有假設（內部）效用函式的嚴格單調性，但 GARP 暗示了它
GARP 等價於：
存在一個連續的、嚴格遞增的、凹的效用函式，它使數據合理化
SARP 的等價性不成立。SARP 意味著 GARP，但反之則不然。
回想一下實際的定義：
- 直接暴露弱偏好； $ x^a \ge^R x^b ; \text{if} ;p^ax^b \le w^a $
- 間接揭示了嚴格的偏好： $$ x^a >^I x^b; \text{if } ; \exists x^{i_1}, x^{i_2}, \ldots, x^{i_m} ; \text{such that} ; x^a \ge^R x^{i_1}, x^{i_1} \ge^R x^{i_2}, \ldots , x^{i_m} \ge^R x^b \ \text{with at least one of these inequalities strict} $$
- GARP：如果 $ x^a \ge^R x^b $ ，那麼不 $ x^b >^I x^a $
- （內部）效用函式 $ u:\mathbb{R}^n_+\to \mathbb{R} $ 使數據合理化 $ {x^i, p^i, w^i}_{i=1}^n $ 如果
$$ \forall x \in \mathbb{R}^n_+, ; p^ix \le w^i; \text{implies}; u(x^i) \ge u(x). $$
因此，您可以僅“通過檢查”爭辯說 GARP 是一種“虛假”設置，因此我們獲得了一個嚴格的（內部）實用程序來合理化數據。（為什麼還要要求其中一個不等式是嚴格的？這實際上是證明的關鍵。）顯然，GARP 公理是由 Afriat 自己制定的，儘管他稱之為“週期性一致性”，所以……得出你自己的結論他是如何提出 GARP 的。
據我了解，Afriat 的結果的賣點是，您可以通過僅查看其選擇的樣本（即測試該樣本的 GARP）來檢查智能體效用最大化（做出最佳選擇）的“理性預期” ; 此外，如果測試是肯定的，您還可以推導出一個效用函式，該效用函式與可能產生選擇的效用函式“一樣好”。存在一個問題，即該方法對測量誤差不具有強韌性。
> > 薩繆爾森的揭示偏好原則……由 Houthakker 闡述……很容易為拒絕存在假設提供了一個條件。但是，根據觀察到的消費者的選擇（假定數量有限），可以接受或拒絕假設的原則已經不存在了；並且，在接受的情況下，需要一個通用的方法來實際建構一個效用函式，以實現數據的假設。(Afriat, 1967, 68) > > > Afriat 的方法……確實具有建設性，提供了一種明確的算法來計算與有限數據量一致的效用函式，而其他論點只是存在證明。這使得 Afriat 的方法更適合作為實證分析的基礎。Afriat 的方法非常新穎，以至於當時的大多數研究人員都沒有認識到它的價值。（瓦里安，2006，101） > > >
$$ … $$Houthakker 已經證明，如果需求函式滿足 SARP，總會存在一個合理化效用函式，但沒有提供找到它的實用方法，而 GARP 技術提供了構造這樣一個效用函式的方法。