Hick 和 Slutsky 的方法導致不同的收入效應。為什麼？
假設在冬季，一杯咖啡和一盤豆子的售價分別為 1 歐元和 3 歐元。夏季，政府決定取消對咖啡的補貼，每杯咖啡的新價格上漲至 2 歐元。如果客戶的收入為 10 歐元，效用函式 $ u(c,b) = cb $ ，什麼是收入效應？
希克斯的方式和斯盧茨基的方式似乎導致了兩種不同的收入效應。
最初的要求是 $ (c_0, b_0) = (\frac{0.5 \times 10}{1}, \frac{0.5 \times 10}{3}) = (5, 5/3) $ .
希克之道：夏天的新需求是 $ (c_1, b_1) = (\frac{0.5 \times 10}{2}, \frac{0.5 \times 10}{3}) = (5/2, 5/3) $ . 具有效用的希克斯需求 $ u(c_0, b_0) $ 是 $ (c_2, b_2) = \left(\frac{5 \sqrt 2}{2}, \frac{5 \sqrt 2}{3}\right) $ . 我們從中得到的收入效應是 $ c_1 - c_2 \approx 1.036 $ .
斯盧茨基的方式：夏天的新需求將是 $ (c_1, b_1) $ 正如我們上面計算的那樣。然後是預算線上的馬歇爾需求 $ 2x + 3y = 2c_0 + 3b_0 = 15 $ 將會 $ (c_2, b_2)=\left(\frac{15}{4}, \frac{15}{6}\right) $ . 我們從中得到的收入效應是 $ c_1 - c_2 = 2.5-3.75 \approx 2.083 $ .
如果EMP 是 UMP 的對偶，這兩種方法如何導致不同的收入效應？
EMP 是 UMP 的對偶，與收入效應無關。
如果 $ (c_0, b_0) $ 表示初始需求，並且 $ (c_1, b_1) $ 表示咖啡價格變化後的需求，則
- 為了找到希克斯替代和收入效應，我們解決以下問題： $$ \begin{eqnarray*} \min_{(c, b)\in\mathbb{R^2_+}} & \ 2c + 3b \ \text{s.t. } & cb \geq c_0b_0\end{eqnarray*} $$
讓 $ (c_2^h, b_2^h) $ 表示上述問題的解決方案。這意味著 $ 2c_2^h + 3b_2^h < 2c_0 + 3b_0 $ . 不等式將是嚴格的，因為 $ (c_0, b_0) $ 是當價格比為時的均衡束 $ \frac{1}{3} $ ，並且由於 $ u $ 是遞增的、可微的和嚴格準凹的 $ \mathbb{R}^2_{++} $ ，成本將在不同的捆綁包中最小化。[請注意，對偶表示如果你最小化 $ c + 3b $ 受制於 $ cb \geq c_0b_0 $ ， 你會得到 $ (c_0, b_0) $ 作為解決方案]
- 為了找到斯盧茨基替代效應和收入效應，我們解決了以下問題： $$ \begin{eqnarray*} \max_{(c, b)\in\mathbb{R^2_+}} & \ cb \ \text{s.t. } & 2c+3b \leq 2c_0+3b_0\end{eqnarray*} $$
讓 $ (c_2^s, b_2^s) $ 表示這個問題的解決方案。自從 $ u $ 是增函式，解滿足 $ 2c_2^s+3b_2^s = 2c_0+3b_0 > 2c_2^h + 3b_2^h $ . 因此，這兩個捆綁 $ (c_2^s, b_2^s) $ 和 $ (c_2^h, b_2^h) $ 將不同，因此兩種方法的替代效應和收入效應將不同。