Leontief（完美互補）函式的補償需求的同質性
在我的作業中，我有一個 Leontief（完美補碼）函式 u(x,y)=min(x,2y)。保持公用事業固定，我們最大限度地減少支出。由於我們有一個 Leontief 函式，在固定的效用水平上，u(x,y)=u 支出在 x=2y 的角度點處最小化。由於效用固定為 u=min(x,2y)，因此 u=min(2y,2y)=2y 且 u=2y=x。因此希克斯需求將是 x=u 和 y=u/2。
我的任務的下一部分是證明補償需求函式在這種情況下和一般情況下在價格上都是 0 次齊次的。但是，在我的情況下（以及標準 Leontief 函式）補償需求函式不依賴於價格。我不太可能推導出錯誤的函式，因為對於標準 Leontief 函式，補償需求也不取決於價格。
自從 $ x({\mathbf p},u)=u $ 和 $ y({\mathbf p},u)=u/2 $ 不依賴價格 $ {\mathbf p} $ ，對於這種特殊情況，價格零度的同質性很容易滿足： $ x(t{\mathbf p},u)=x({\mathbf p},u)=u $ 和 $ y(t{\mathbf p},u)=y({\mathbf p},u)=u/2 $ .
對於一般情況，零度的同質性源於預算線的斜率由下式給出的觀察結果 $ -p_x/p_y=-(tp_x)/(tp_y) $ 為了 $ t>0 $ .
給定一個效用函式 $ u:\mathbb{R}^L_+\rightarrow\mathbb{R} $ , 價格向量 $ p\in \mathbb{R}^L_{++} $ 和目標效用水平 $ \mu\in\mathbb{R} $ ，支出最小化問題定義如下： $$ \begin{eqnarray*}\min_{x\in\mathbb{R}^L_+} & p\cdot x \ \text{s.t. }& u(x) \geq \mu\end{eqnarray*} $$ 讓 $ x^h(p,\mu) $ （希克斯需求）表示上述問題的解決方案。觀察上面問題的解決方案也是下面問題的解決方案： $$ \begin{eqnarray*}\min_{x\in\mathbb{R}^L_+} & \lambda p\cdot x \ \text{s.t. }& u(x) \geq \mu\end{eqnarray*} $$ 對於任何 $ \lambda > 0 $ .
換句話說， $ x^h(p,\mu) = x^h(\lambda p,\mu) $ . 因此，希克斯需求是程度同質的 $ 0 $ 在價格。因此，支出函式定義為最佳支出水平 $ e(p, \mu) = p\cdot x^h(p, \mu) $ 滿足以下條件：
$ e(\lambda p, \mu) = \lambda p \cdot x^h(\lambda p, \mu) = \lambda p \cdot x^h( p, \mu) = \lambda e(p, \mu) $
因此，度數是齊次的 $ 1 $ 在價格。