效用函式的一階齊次。
問題
> > 我的解決方案如下。請檢查我的解決方案。如果我犯了錯誤，請告訴。我真的不確定我的解決方案。謝謝 > > >
U(x) 是一階齊次的，即 u(tx)=tu(x)
首先，我證明了間接效用函式在 m 中是一階齊次的。
通過效用最大化，
V(p,m)=max u(x) 以 px 為準 $ \le $ 米
tv(p,m)=max tu(x) 以 px 為準 $ \le $ 米
由於 u(tx)=tu(x), tv(p,m)=max u(tx) 服從 px $ \le $ 米
那麼 v(p,tm)=tv(p,m)
即間接效用函式是一階齊次的。
通過使用先前的結果，我證明了支出函式在 u 中是一階齊次的。
我知道
> > > > > > v(p,m)=v(p, e(p,u))=u(x) > > > > > > > > >
由於 u(x) 是一階齊次的，而 v(p,m) 是 m 中一階齊次的，所以 v(p, e(p,u)) 必須是 e(p,u) 中的一階齊次.
換句話說，v(p, e(p,u(tx)))=v(p, e(p,tu(x)))=tv(p, e(p,u)) 成立當且僅當,tu(x))=te(p,u(x))
即昂貴的函式 e(p,u) 在 u 中是一階齊次的。
> > 現在我將證明馬歇爾需求 x(p,m) 在 m 中是一階齊次的。 > > >
以羅伊的身份，
$$ \frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m) $$ 根據第一個結果，由於 v(p,m) 在 m 中是一階齊次的，那麼 x(p,m) 在 m 中是一階齊次的。
現在讓我們證明希克斯需求在 u 中是一階同質的。
我知道
> > > > > > x(p,m)= x(p,e(p,u))=h(p,u) ……..(1) > > > > > > > > >
x(p,tm)=tx(p,m)=tx(p,e(p,u))=x(p,te(p,u))
由於 e(p,u) 在第二部分是一階齊次的，
x(p,te(p,u))=x(p,e(p,u(tx))=h(p,u(tx))=h(p,tu(x))=th(p, u(x)) 必須成立，因為等式 (1) 存在。
即希克斯需求在 u 中是一階同質的。
你展示的方式 $ v(p,m) $ 是一級同質的 $ m $ 是正確的，但這意味著， $ e(p,u) $ 是一級同質的 $ u $ , 在你的論點中不是很精確。例如，對偶告訴我們
$$ v(p,e(p,u))=u, $$ 在哪裡 $ u $ 只是一個目標實用程序級別，但不應該是 $ u(x) $ 就像你的證明一樣。 這是一種可能的方法：因為 $ v(p,m) $ 是一級同質的 $ m $ , 可以寫成
$$ v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p). $$ 應用等式 $ v(p,e(p,u))=u $ 給 $$ e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)}, $$ 這清楚地表明 $ e(p,u) $ 是一級同質的 $ u $ . 您可以使用類似的論證來證明希克斯需求的同質性。 綜上所述，我建議您直接使用支出函式和希克斯需求的定義來證明原始陳述。例如，
$$ \begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\ &=\cdots \end{align*} $$