對偶的準確度如何？
在經濟理論中，我們知道通過使用一些微積分、Hotellings 引理和Sheppards 引理，我們可以推導出給定的公司供應函式和利潤函式。
有了給定企業成本的數據，我們實際上能準確估計其利潤函式和供給函式嗎？
讓我專注於對偶理論在需求分析中的使用（因為這是我最熟悉的）。
直接方法
通常，為了獲得一個需求系統（然後您可以估計），您需要採取以下步驟。
- 指定效用函式 $ u(x_1, \ldots, x_n) $ .
- 在預算約束方面最大化這一點 $ \sum_i p_i x_i \le m $ . .
- 獲得一個封閉形式的解決方案 $ x_i $ 作為所有價格的函式 $ (p_1,\ldots, p_n) $ 和收入 $ m $ .
- 估計這些函式。
第 3 步是最棘手的部分，因為通常不可能有封閉形式的解決方案。要看到這一點，請注意一階條件給出以下系統： $$ \frac{\partial u(x_1, \ldots, x_n)}{\partial x_n} = p_i,, \lambda,\ \sum_i p_i x_i = m. $$ 解決 $ \lambda $ 我們有： $$ \dfrac{\dfrac{\partial u}{\partial x_i}}{\sum_j \dfrac{\partial u}{\partial p_j}} = \frac{p_i}{m} $$ 這給出了右側的（標準化）價格作為數量的函式（因此逆需求函式）。為了獲得根據函式的數量的封閉形式的解，需要對這個系統進行倒置。除了在某些特殊情況下（例如 Cobb-Douglas 或 CES），我們不知道如何做到這一點。
雙重方法
對偶方法從支出函式的規範開始，並使用已知的對偶結果來獲得需求函式的封閉形式表達式。它採取以下步驟：
- 指定支出函式 $ e(p_1, \ldots, p_n,u) $ .
- 使用 Shephard 引理獲得 Hicksian 需求函式 $ h_i(p_1,\ldots, p_n, u) $ .
- 倒置 $ e(p_1, \ldots, p_n, u) $ 關於 $ u $ 獲得間接效用函式 $ v(p_1, \ldots, p_n, u) $ .
- 代替 $ v(p_1, \ldots, p_n, u) $ 在 $ h(p_1, \ldots, p_n, u) $ 得到馬歇爾的要求 $ x_i(p_1, \ldots, p_n, m) $ .
例如，考慮廣泛使用的Deaton & Muellbauer的幾乎理想需求系統規範
從支出函式的以下（靈活）規範開始。 $$ \ln e(p,u) = \alpha_0 + \sum_i \alpha_i \ln(p_i) + \sum_{i,j}\frac{1}{2}\gamma_{i,j} \ln(p_i) \ln(p_j) + u \prod_i p_i^{\beta_i} $$ 我們強加 $ \gamma_{i,j} = \gamma_{j,i} $ ，並且通過 1 次的同質性，我們有 $ \sum_i \alpha_i = 1 $ 和 $ \sum_{i = 1}^n \gamma_{i,j} = 1 $ 和 $ \sum_{i} \beta_i = 0 $ .
首先我們可以取導數 $ \frac{\partial \ln e(p,u)}{\partial \ln p_i} $ 得到需求份額方程。Shephard 引理給出： $$ \frac{\partial \ln e(p,u)}{\partial \ln p_i} = \frac{p_i h_i(p,u)}{e(p,u)} = \alpha_i + \sum_j \frac{1}{2}\gamma_{i,j} \ln(p_j) + u \beta_0 \beta_i \prod_i p_i^{\beta_i} $$ 這裡 $ h_i(p,u) $ 是希克斯對商品的需求 $ i $ .
寫作者 $ v(p,m) $ 間接效用函式，我們通過效用最大化和支出最小化之間的對偶性知道： $$ m = e(p,v(p,m)) \text{ or } u = v(p,e(p,u)). $$ 使用它，我們可以反轉支出函式以獲得間接效用函式。 $$ v(p,m) = \frac{\ln m - \alpha_0 - \sum_j \alpha_j \ln(p_j) - \sum_{i,j}\frac{1}{2} \gamma_{i,j} \ln(p_i) \ln(p_j)}{\beta_0 \prod_i p_i^{\beta_i}} $$
同樣通過對偶，如果 $ x(p,m) $ 那麼是馬歇爾需求函式： $$ x_i(p,m) = h_i(p,v(p,m)). $$ 所以我們可以替換 $ v(p,m) $ 進入 $ h_i(p,u) $ 將股票作為價格和收入的函式。
$$ \begin{align*} s_i(p,m) &= \frac{p_i x(p,m)}{m} = \alpha_i + \sum_j \frac{1}{2}\gamma_{i,j} \ln(p_j) + \beta_i \left(\ln m - \alpha_0 - \sum_j \alpha_j \ln(p_j) - \frac{1}{2}\sum_{i,j} \gamma_{i,j} \ln(p_i) \ln(p_j)\right),\ &= \alpha_i + \sum_j \frac{1}{2}\gamma_{i,j} \ln(p_j) + \beta_i \ln(m/P). \end{align*} $$ 在哪裡： $$ P = \alpha_0 + \sum_j \alpha_j \ln(p_j) + \sum_{i,j} \frac{1}{2}\gamma_{i,j} \ln(p_i)\ln(p_j). $$ 這是幾乎理想的需求系統。有條件的 $ P $ ，股票在收入對數和價格對數中是線性的。對稱性和同質性限制立即轉化為該系統係數的條件。
這是一個紙質連結，他們在其中找到了一個 $ R^2 $ 超過 0.99 我不認為這是一個特別不尋常或奇怪的結果。在估算公用事業公司的成本時，我記得用來自各種公用事業的真實數據進行了許多練習。我通常得到 $ R^2 $ 是在 0.95 或更高，所以我覺得它們在樣本內相當準確。
這意味著，如果我們對公司的總資本存量和支出有很好的了解，並且我們保持在樣本範圍內，經濟學家就可以很好地估計公司的單位成本。
但是，如果您詢問樣本外的預測非常遠，或者市場發生系統性變化，那麼您可能會發現不太成功。