弱偏好與嚴格偏好/冷漠有何不同？
給定一個效用函式 $ u(\cdot) $ 和兩個捆綁 $ x $ 和 $ y $ .
假設 $ u(x)=u(y) $ .
我要證明或反駁 $ x \succcurlyeq y $ .
現在我對此感到困惑。我們說 $ x $ 嚴格優先於 $ y $ ， 或者 $ x \succ y $ ， 如果 $ x \succcurlyeq y $ 但不是 $ y \succcurlyeq x $ . 我們說代理之間無動於衷 $ x $ 和 $ y $ ， 或者 $ x \sim y $ ， 如果 $ x \succcurlyeq y $ 和 $ y \succcurlyeq x $ . 因此，如果 $ x \sim y $ ，我們應該可以說 $ y \sim x $ .
所以我們知道如果 $ x \sim y $ , $ y \sim x $ 和 $ x \succcurlyeq y $ 和 $ y \succcurlyeq x $ .
現在做什麼 $ \succcurlyeq $ 說什麼呢？要麼是 $ \succ $ 或者 $ \sim $ .
所以我們可以說 $ \succcurlyeq $ 只是一個超集 $ \succ $ 和 $ \sim $ 當我們不確定時？因為如果 $ x \succcurlyeq y $ , $ x $ 可以嚴格優先或無所謂 $ y $ . 但如果 $ x \sim y $ （這可能是，因為 $ \succcurlyeq $ 表示冷漠或嚴格的偏好）， $ x $ 不能再嚴格優先於 y。這讓我很困惑。這兩種說法不矛盾嗎？首先可以嚴格優先，但在第二個假設下，它不能嗎？
對於上面的例子，這意味著因為 $ u(x)=u(y) $ ， 我們知道 $ x \sim y $ 和 $ y \sim x $ 因此 $ x \succcurlyeq y $ （和 $ y \succcurlyeq x $ ） 是正確的？
我知道這是一個非常基本的問題。我只是感到困惑，因為我認為我與一個同學略有不同，他說對於上面的例子，我們不能這麼說 $ x \sim y $ （顯然，這是錯誤的）。
假設 $ u(x)=u(y) $ .
我要證明或反駁 $ x \succcurlyeq y $ .
證明：
效用函式 $ u $ 代表您的偏好 $ \succcurlyeq $ 過度消費捆綁。根據術語“代表”的定義，這意味著 $ u(x)\ge u(y)\Leftrightarrow x\succcurlyeq y $ 對於所有捆綁包 $ x $ 和 $ y $ .
如果我們有 $ u(x)=u(y) $ ，那麼我們有 $ u(x)\ge u(y) $ . 因此我們得到 $ x\succcurlyeq y $ . 量子點
備註: 從 $ u(x)=u(y) $ ，我們也得到 $ u(y)\ge u(x) $ 因此 $ y\succcurlyeq x $ . 和…一起 $ x\succcurlyeq y $ 然後，根據關係的定義 $ \sim $ ， 我們有 $ x\sim y $ . 但是，如果您只被要求證明 $ x\succcurlyeq y $ .