如何在純策略中建立不動點定理論證？
首先，我回顧一下巴拿赫不動點定理。
讓 $ (X,d) $ 是具有收縮映射的非空完整度量空間 $ T:X\to X $ . 然後 $ T $ 承認一個唯一的不動點 $ x^* $ 在 $ X $ IE $ T(x^) = x^ $ .
為了證明最佳響應策略的組合 $ N \geqslant 2 $ 代理構成納什均衡，我們需要使用不動點定理參數。這是否僅在代理採用混合策略的情況下才有必要，或者在他們也遵循純策略的情況下才成立？當代理通過送出純策略採取行動時，我正在尋找一些指導，以在 guadratic 效用函式中使用 Banch 不動點定理。我怎樣才能建立這個論點？最讓我困惑的是映射 $ T:X\to X $ 是關於策略的不是嗎？
如果您願意，我可以提供有關我的問題的更多詳細資訊。如果你能詳細回答我也很高興，因為我對這個話題一無所知
一般來說，最佳響應圖沒有先驗理由是收縮的。這是一個簡單的例子（因為性別之戰是我過去幾天的首選）： $$ \begin{array}{c|lcr} \text{Player1/Player 2$\rightarrow$} & \text{F} & \text{T} \ \hline \text{F} & 3,1 & 0,0 \ \text{T} & 0,0 & 1,3 \ \end{array} $$ 表示玩家 1 的策略： $ x = Pr(T) $ 和玩家 2 的： $ y=Pr(T) $ . 玩家 1 的最佳反應是地圖 $ BR_1:[0,1]\rightarrow[0,1] $ 被定義為： $ BR_1(y) = \begin{cases} 0 & \text{ if } y<\frac{3}{4}\ [0,1] & \text{ if } y = \frac{3}{4}\ 1 & \text{ if } y>\frac{3}{4}\ \end{cases} $
同樣，玩家 2 的最佳反應是一張地圖 $ BR_2:[0,1]\rightarrow[0,1] $ 被定義為： $ BR_2(x) = \begin{cases} 0 & \text{ if } x<\frac{1}{4}\ [0,1] & \text{ if } x = \frac{1}{4}\ 1 & \text{ if } x>\frac{1}{4}\ \end{cases} $
定義最佳響應配置文件 $ BR:[0,1]^2\Rightarrow[0,1]^2 $ 作為 $ BR(y,x) \equiv \big(BR_1(y), BR_2(x)\big) $ . 該博弈的納什均衡是 $ BR $ .
然而，這不一定是收縮圖。在域上取兩點： $ a = (0.8,0.5) $ 和 $ b = (0.5,0.2) $ . 很容易看到 $ BR(0.8,0.5) =(1,1) $ 和 $ BR(0.5,0.2)=(0,0) $ . 因此歐幾里得距離 $ d\big(BR(a),BR(b)\big) = \sqrt{2} $ 然而 $ d\big(a,b\big) = 0.3\sqrt{2} $ . 很清楚 $ \not\exists $ $ k>0 $ 這樣 $ d\big(BR(a), BR(b)\big)\leq k d\big(a,b\big) $ .