如何解決微觀經濟學中的包絡定理條件？
我正在為經濟學碩士學位做準備，但根據信封定理，我不明白為什麼在推導效用函式時 $ u(θ, q(θ), r(θ)) = B(q-r) - C(\frac{q}{θ}) $ , 它的導數關於 $ θ $ 是 $ (\frac{q(θ)}{θ^2})C’(\frac{q(θ)}{θ}) $ .
我猜你的詢問是關於*總衍生品的鍊式法則*。
在特殊情況下 $ B(q-r) $ 由於某種原因從表達式中省略了，推導順序就是這樣。
$$ \frac{\partial{u}}{{\partial\theta}}= \frac{\partial{u}}{{\partial{C}}}\frac{\partial{C}}{{\partial\theta}} = -1*\frac{\partial{C}}{{\partial\theta}}=-\frac{\partial{\frac{q(\theta)}{\theta}}}{{\partial\theta}}C′(\frac{q(θ)}{θ})=-(-\frac{q(θ)}{θ^2})C′(\frac{q(θ)}{θ}) $$
如果您的問題出在上面表達式的後半部分，我建議您通讀複合函式的派生規則。
正如@Giskard 所指出的，從這個問題為什麼這個詞還不清楚 $ B(q-r) $ 將被省略，也許您想提供更多資訊。
我認為上面的答案需要更多的澄清。包絡定理比導數的簡單鍊式法則稍微微妙一些。構想如下： $ \theta $ 是在優化問題中保持固定的參數。所以最優解為 $ q,r $ 取決於 $ \theta $ 因此寫為 $ q(\theta) $ 和 $ r(\theta) $ 和功能 $ u(\theta, q(\theta),r(\theta)) $ 是間接效用函式（或價值函式）。包絡定理指出：**圍繞最優解的一個小鄰域，**間接效用函式關於 $ \theta $ 與原始效用函式關於 $ \theta $ 在持有的同時 $ q,r $ 常數（換句話說，你可以忽略它 $ q,r $ 取決於 $ \theta $ ).
所以讓我們做一下練習：簡單的鍊式法則規定
$ \frac{\partial u(\theta,q(\theta),r(\theta))}{\partial\theta} = q^{\prime}(\theta)\frac{\partial B(q(\theta)-r(\theta))}{\partial q}-r^{\prime}(\theta)\frac{\partial B(q(\theta)-r(\theta))}{\partial r}-\frac{\theta q^{\prime}(\theta)-q(\theta)}{\theta^2}\frac{\partial C(\frac{q}{\theta})}{\partial q} $ .
重新排列，我們可以寫： $ \frac{\partial u(\theta,q(\theta),r(\theta))}{\partial\theta} = -r^{\prime}(\theta)\big[\frac{\partial B(q(\theta)-r(\theta))}{\partial r}\big] + q^{\prime}(\theta)\big[\frac{\partial B(q(\theta)-r(\theta))}{\partial q} - \frac{1}{\theta}\frac{\partial C(\frac{q}{\theta})}{\partial q}\big] +\frac{q(\theta)}{\theta^2}\frac{\partial C(\frac{q(\theta)}{\theta})}{\partial q} $
在最佳狀態下， $ q(\theta),r(\theta) $ 必須滿足 FOC（內部假設）：
$ \frac{\partial B(q(\theta)-r(\theta))}{\partial r}=0 $ ， 和 $ \frac{\partial B(q(\theta)-r(\theta))}{\partial q} - \frac{1}{\theta}\frac{\partial C(\frac{q}{\theta})}{\partial q} = 0 $
將 FOC 插入到鍊式規則表達式中，我們得到了答案：
$ \frac{\partial u(\theta,q(\theta),r(\theta))}{\partial\theta} = \frac{q(\theta)}{\theta^2}\frac{\partial C(\frac{q(\theta)}{\theta})}{\partial q} $
如果您區分原始效用函式，最後一個表達式正是您將得到的 $ u(\theta,q,r) $ 關於 $ \theta $ 保持 $ q,r, $ 固定的。 $ \bigg( $ IE $ \frac{\partial u(\theta, q,r)}{\partial\theta} =\frac{q}{\theta^2}\frac{\partial C(\frac{q}{\theta})}{\partial q} \bigg) $