如何使用經驗教育群體計算黑人和白人勞動力市場的替代彈性？
我正在閱讀 Leah Boustan 的“應許之地的競爭——北方城市和勞動力市場的黑人移民”，我試圖理解她對勞動力市場替代彈性的計算
她使用 Cobb-Douglas 函式：
$$ Y=AL^{\alpha}K^{1-\alpha} $$
然後將總勞動定義為：
$$ L=\left(\sum_{e=1}^{n} \left(L_{e} \theta_{e}\right)^{\frac{\delta - 1}{\delta}}\right)^{\frac{\delta}{\delta - 1}} $$
按教育組劃分的總勞動力為：
$$ L_{e}=\left(\sum_{\substack{1 \leq e \leq n\1 \leq x \leq m}} \left(L_{ex} \theta_{ex}\right)^{\frac{\eta - 1}{\eta}}\right)^{\frac{\eta}{\eta - 1}} $$
並通過以下方式按經驗和教育群體匯總勞動力：
$$ \left(\left(L_{exb} \theta_{exb}\right)^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}} + \left(L_{exw} \theta_{exw}\right)^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma - 1}} $$
然後她推導出相對於 $ L_{exr} $ （在哪裡 $ r=w,b $ ) 並獲得：
$$ ln w_{exr}=ln(A^{\frac{1}{\alpha}}k^{\frac{(1-\alpha)}{\alpha}})+\frac{1}{\delta}\cdot ln(L)+ln\theta_{e}-(\frac{1}{\delta}-\frac{1}{\eta})\cdot ln(L_{e})+ln\theta_{ex}-(\frac{1}{\eta}-\frac{1}{\delta})\cdot ln(L_{ex})+ln\theta_{e_{exr}}-\frac{1}{\delta}\cdot ln(L_{exr}) $$
我不知道如何達到這個表達。我認為我需要的只是 1）向後替換 L 項，2）取導數，3）應用對數。替換給出：
$$ A K^{1 - \alpha} \left(\left(\sum_{e=1}^{n} \left(\theta_{e} \left(\sum_{\substack{1 \leq e \leq n\1 \leq x \leq m}} \left(\theta_{ex} \left(\left(L_{exb} \theta_{exb}\right)^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}} + \left(L_{exw} \theta_{exw}\right)^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma - 1}}\right)^{\frac{\eta - 1}{\eta}}\right)^{\frac{\eta}{\eta - 1}}\right)^{\frac{\delta - 1}{\delta}}\right)^{\frac{\delta}{\delta - 1}}\right)^{\alpha} $$
但是這個表達式的導數例如相對於 $ L_{exb} $ 是一個與作者顯示的表達式非常不同的方程（即使在對數之後）。
我在這裡一定犯了一個非常愚蠢的錯誤，但是我怎樣才能從 L 的方程中得到所需的表達式呢？有沒有教科書可以找到關於人口群體之間替代彈性的討論？
編輯： 這部分書的紙質版可以在這裡找到。在我的研究中，我注意到 Boustan 的工作基於Ottaviano (2006) 和Card and Lemieux (2001)。
這是一個帶有方程式的jupyter筆記本
我不想粗魯，但您正確複製的唯一方程式是生產力增強的 Cobb-Douglas 生產函式。
等式 2 是來自 Ottaviano, Peri (2008)（第 8 頁）的等式 2，它說：
$$ L=\left(\sum_{e=1}^{n} \theta_{e}L_{e}^{\frac{\delta - 1}{\delta}}\right)^{\frac{\delta}{\delta - 1}} $$.
在剩下的方程中 $ \theta $ 也不在指數之下：
$$ L_{e}=\left(\sum_{\substack{1 \leq e \leq n\1 \leq x \leq m}} \theta_{ex} L_{ex} ^{\frac{\eta - 1}{\eta}}\right)^{\frac{\eta}{\eta - 1}} $$
相當於 Ottaviano, Peri (2008) 第 9 頁的方程 3 和
$$ \left(\theta_{exb} L_{exb}^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}} + \theta_{exw} L_{exw} ^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma - 1}} $$
相當於 Ottaviano, Peri (2008) 第 9 頁的方程 4 和
工資對數的表達式是 Boustan(2008) 第 11 頁上的公式 2：
$$ ln w_{exr}=ln(A^{\frac{1}{\alpha}}k^{\frac{(1-\alpha)}{\alpha}})+\frac{1}{\delta}\cdot ln(L)+ln\theta_{e}-(\frac{1}{\delta}-\frac{1}{\eta})\cdot ln(L_{e})+ln\theta_{ex}-(\frac{1}{\eta}-\frac{1}{\sigma})\cdot ln(L_{ex})+ln\theta_{e_{exr}}-\frac{1}{\sigma}\cdot ln(L_{exr}) $$
有了正確的表達式，它所有的代數都很無聊：
Fn。第 11 頁上的 29 說：
繼 Ottaviano 和 Peri (2006) 之後，我首先將產出表示為資本產出比 (κ = K/Y) 的函式
因此我們有：
$ Y=AK^{1-\alpha}L^{\alpha} \Leftrightarrow Y=A\big(\frac{K}{Y}\big)^{1-\alpha}L^{\alpha}Y^{1-\alpha} \Leftrightarrow \Y^{\alpha}=Ak^{1-\alpha}L^{\alpha}\Leftrightarrow Y=A^{\frac{1}{\alpha}}k^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}L $
請注意：
$$ W = x^{\frac{\zeta}{\zeta-1}} \Leftrightarrow \frac{\partial W}{\partial L_{exr}} = \frac{\zeta}{\zeta-1}x^{\frac{1}{\zeta-1}}\frac{\partial x}{\partial L_{exr}} =\frac{\zeta}{\zeta-1}W^{\frac{1}{\zeta}}\frac{\partial x}{\partial L_{exr}} (*) $$
$ \omega_{exr} = \frac{\partial Y}{\partial L_{exr}} = A^{\frac{1}{\alpha}}k^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}\big(\sum_{e=1}^n\theta_eL_e^{\frac{\delta-1}{\delta}}\big)^{\frac{1}{\delta-1}}\theta_eL_e^{\frac{-1}{\delta}}\frac{\partial L_e}{\partial L_{exr}} \overset{(*)}= A^{\frac{1}{\alpha}}k^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}\theta_e\frac{\partial L_e}{\partial L_{exr}}L^{\frac{1}{\delta}}L_e^{\frac{-1}{\delta}}(1) $
$ \frac{\partial L_e}{\partial L_{exr}} \overset{(*)}= \theta_{ex}\frac{\partial L_{ex}}{\partial L_{exr}}L_e^{\frac{1}{\eta}}L_{ex}^{\frac{-1}{\eta}} (2) $
$ \frac{\partial L_{ex}}{\partial L_{exr}} \overset{(*)}= \theta_{exr}L_{ex}^{\frac{1}{\sigma}}L_{exr}^{\frac{-1}{\sigma}} (3) $
將 (2) 和 (3) 插回 (1) 中，記錄日誌，您將獲得結果。
注意我不太明白為什麼 $ k = \frac{K}{Y} $ wrt L 不在這裡。