如何從約束優化問題中推導出三次成本函式？
三次總成本函式通常採用以下形式
$ TC(q)=a+bq+cq^{2}+dq^{3} \qquad a,b,d>0, c<0 $ 和 $ c^{2}<4bd $
我知道從約束最大化問題
$ min\quad wL+vK $
受制於
$ q_{0}=f(k,l) $
我可以用拉格朗日函式來表達
$ \mathcal{L}=wl+vk+\lambda(q_{0}-f(k,l)) $
對於 Cobb-Douglas 生產函式的情況有一些代數 $ q_{0}=k^{\alpha}l^{\beta} $ 我可以到達
$ TC=q^{\frac{1}{\alpha+\beta}}w^{\frac{\beta}{\alpha+\beta}}v^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}\left(\frac{\alpha+\beta}{\alpha^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}\beta^{\frac{\beta}{\alpha+\beta}}}\right) $
我可以給價值 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 獲得一個三次函式，但不是我在序言中描述的那個。它還可以修復一些其他因素，例如工廠的規模，但不會起作用。
任何的想法？
提前致謝
關於參數約束的說明：
$$ TC(q)=a+bq+cq^{2}+dq^{3} = a + q(b+cq+dq^{2}) $$ 看來我們想要的是二階多項式不取負值。這將要求它沒有真正和積極的根源。自從 $ c<0 $ ，那麼如果有真正的根，其中一個將是正的。這意味著對於一個正值區間 $ q $ 二次多項式將取負值，邊際成本將變為負值。所以我們需要判別式是負數，所以 $ c^2 - 4bd < 0 \implies c^2 < 4bd $ . 我不明白他們為什麼寫“ $ 3 $ “ 代替 ” $ 4 $ ”。 -__________________________________
至於從生產函式中嚴格獲得這樣的成本函式：
參考**Silberberg。E (1990)，“經濟學結構”（第 2 版）**，第 2 章。9.
A) 當生產函式程度齊次時 $ r $ , 那麼代價函式的形式為
$$ C(q,\mathbb w) = q^{1/r} \cdot h(\mathbb w) $$ 在哪裡 $ h(\mathbb w) $ 是價格（輸入因素）的函式，它是一階齊次的（或“線性齊次的”）。
B）當生產函式是同質的，可以表示為一階齊次函式的單調函式，那麼對於某些函式，成本函式在產量和價格上保持乘法可分 $ J(q) $ :
$$ C(q,\mathbb w) = J(q)\cdot h(\mathbb w) $$ 但同樣，由於同質性是一階同質性的單調變換， $ J(q) $ 不應期望像您尋求的那樣採用任何多項式形式。
因此，生產函式的常用函式規範都不會給出像您想要的那樣的成本函式。事實上，在具有這種成本函式的論文中，我從未見過潛在生產函式的推導。
如果有任何積極的結果出現，我會回來。