如何用一般形式的效用函式找到最優選擇的變化？
假設效用函式表示為 $ U(x_1,x_2;I) $ ， 在哪裡 $ I $ 是消費者擁有的資訊水平。
如何找到最優選擇的變化 $ x_1 $ 作為價格 $ x_1 $ 與資訊變化相關的變化？
雖然我了解 Cobb Douglas Utility 函式的過程，但我不知道如何使用一般形式。
我的看法：
消費者最大化 $ U(x_1,x_2;I) $ 受預算約束 $ px \leq Y $ 在哪裡 $ p $ 和 $ x $ 是向量和 $ Y $ 是收入。
最優選擇可以表示為 $ x_1^*(p,w;I) $ - 馬歇爾需求。現在區分這個 $ p $ 和 $ I $ 將是解決方案。
我的理解正確嗎？
這取決於您對效用函式和商品“空間”的了解 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ .
您在問題中詢問最佳選擇相對於參數資訊的變化是什麼。這種分析稱為比較靜力學，您可以使用許多數學工具來實現這一點。最常見的是
- 隱函式定理
如果貨物的空間是凸的並且一切都很好微分，準凹等等，那麼這是最簡單的。我不會討論這個定理，你應該自己研究它（很好的參考資料在 De La Fuente 的書或 MWG 中）。
首先，演員的最佳選擇是什麼？由於一切都是可微的，並且準凹度意味著一階條件表徵了最優值（這很重要），因此您可以通過一階方程得出最優選擇的條件 $$ D_{x_1,x_2,I}U(x_1,x_2;I) = \mathbf{0} $$ 在哪裡 $ D $ 只是微分運算元，在你的情況下是向量 $ \frac{\partial U}{\partial x_i} $ .
這表徵了最優選擇。它還沒有被“解決”為 $ x_i=\ldots $ ，但這通常既不可能也沒有必要。例如，也許你真的不知道什麼 $ U $ 只是它具有某些屬性，因此您永遠無法解決 $ x $ 明確地。這就是我們使用“隱式”函式定理的原因。
應用隱函式定理可以計算 $$ \frac{\partial x_i}{\partial I} $$ 只需使用您在上面得出的一階條件的“比率”。
同樣，您需要仔細檢查函式的一些屬性，所以我會給您公式，但請您查看文獻。
- 單調比較靜力學
事實證明，我們可以在比具有可微效用的商品凸空間更一般的世界中進行比較靜態分析。
假設我們只對選擇的“方向”感興趣。也就是說，我們只關心單調性。例如，IFT 不適用於離散商品（“1 輛汽車”、“2 輛汽車”、“3 輛汽車”），因為空間不是凸的。但是這些想法應該同樣有效！
對這些非凸但有序的集合進行優化稱為晶格優化。
現在，我們只需要假設 $ X $ ，商品的空間，是一個格子——一個集合，其中可能的組合 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 有一定的順序，即資訊值 $ I $ 構成一個偏序集。
現在，如果我們假設效用函式至少是超模的（在這個更一般的空間中類似於凹性），那麼我們可以使用與隱函式定理類似的結果，稱為托普基斯定理來確定如何 $ x_i $ 變化作為響應 $ I $ .
但事實上，這甚至不是最普遍的情況。還記得凹度和準凹度的區別嗎？好！在這裡，我們也可以呼叫準超模組化。這給我們帶來了 Milgrom, P. 和 C. Shannon (1994) 的話：“單調比較靜力學”。
特別是，他們聲稱這種形式的比較靜態是“最優選擇”和“比較靜態”中最普遍的，在某種意義上也是必要和充分的。我發現 Xavier Vives 的書是一本很好的參考書。
好吧，你問的是一般性，所以你去。
編輯：如果您是本科生，那麼也許只需將此回復歸檔，我會說，是的，您對問題的理解也有效。您可以區分需求函式以查看它相對於參數的變化；-)