如何找到角落帕累託有效分配
我在理解如何找到位於 Edgeworth 盒子邊界的帕累託有效分配方面遇到了一些麻煩。我的意思是，內部的，可以使用等式找到 $ MRS_A = MRS_B $ ， 在哪裡 $ A $ 和 $ B $ 是我們純交換經濟的兩個代理人，而我找不到任何關於前沿配置的資訊。
有沒有我可以使用的數學程序，或者這只是我必須使用直覺來處理的事情（我的意思是使用帕累托效率的定義）。
為了更清楚，我引用了我的工作簿中的一個練習，其中有兩個具有偏好的代理 $ u^A(x_1,x_2) =\sqrt{x_1x_2} $ 和 $ u^B(x_1,x_2)=x_1+3x_2 $ , 和禀賦 $ \omega^A=(1,0) $ 和 $ \omega^B=(0,1) $ . 問題是辨識帕累托集。
這是解決方案，其中藍線是帕累托集。
讓我們舉個例子：
- 首先，我們注意到兩個效用函式都是可微的和準凹的。
- 注意到這一點，我們也知道內部帕累托最優的充分必要條件是 $ MRS_{x_1,y_1} $ = $ MRS_{x_2,y_2} $ （正如您已經正確說明的那樣）。
這種情況顯然與解決方案中辨識內部 PO 分配軌蹟的部分一致。
現在，對於沿右邊緣的 PO 點：
- 我們可以通過辨識上述 MRS 條件失敗的範圍來找到內部解決方案的界限。
- 因為平等失敗了，我們知道嚴格的不平等必須佔上風。
- 普遍存在的嚴格不等式的方向性確定了我們找到 PO 分配的邊緣。
所以，我認為有兩種方法可以回答你的問題。
1.) 對於這種類型的圖，其中一個代理具有線性偏好，而另一個代理具有曲線和凸偏好，很容易看出 PO 分配的軌跡向 Edgeworth 框的右邊緣移動。因此，拐角解決方案沿著該邊緣在切點不再位於內部的範圍內執行。
2.) 如果您遇到例如兩個代理都有線性偏好的情況，您可以使用嚴格不等式的方向性來確定您沿著 Edgeworth 框的哪些邊緣分配了 PO。
2.) 的範例：
$ U_1(x_1,y_1)=X_1+2Y_1 $ 和 $ U_2 = 2X_1+Y_1 $
現在，您應該執行以下操作：
- 確保你明白為什麼 $ MRS_1 \neq MRS_2 $
- 確定兩者之間嚴格不等式的方向
- 使用它來確定您將沿著框的哪個邊緣進行採購訂單分配。
提示：
- $ MRS_A<MRS_B $
- PO 分配位於 Edgeworth 框的左上邊緣
編輯：
我也認為這是一個很好的參考：
http://nicolalimodio.com/wp-content/uploads/2015/11/ec202d.pdf
希望裡面有幫助。當我開始學習這些東西時，這對我來說也是一個問題，我花了一些閱讀和練習才最終適應了這一切。