怎麼找φφphi，這表示知情交易者之間信號的相關性？

由於我在我的問題中沒有關於量化金融的答案，所以我在這裡交叉發布問題以標記其他一些類別

以下假設是 Back、Chao 和 Willard 論文的一部分，我無法解決表示為的統計數據 $ \phi $ 在續集中。如果有人可以幫助我，我會很高興。下面我設置了假設和感興趣的方程

假設市場上有 $ N\geq 1 $ 知情代理人，他們在時間間隔內連續交易風險資產 $ [0,1) $ . 每個代理 $ i $ 接收一個均值為零的信號 $ \tilde{s}^i $ 在時間 0。我們假設信號和資產的清算價值具有在信號中對稱的非退化聯合正態分佈。對稱性意味著資產價值和信號的聯合分佈 $ \tilde{s}^1,…,\tilde{s}^N $ 對索引的排列是不變的 $ 1,…,N $ . 讓 $ \tilde{v} $ 表示以知情交易者的綜合資訊為條件的清算價值預期。按照常態， $ \tilde{v} $ 是一個仿射函式 $ \tilde{s}^i $ . 通過重新縮放 $ \tilde{s}^i $ 如有必要，我們可以不失一般性假設

$$ \begin{equation}\tilde{v}=\bar{v}+\Sigma^{N}_{i=1} s^i\end{equation} $$ 對於一個常數 $ \bar{v} $ . 為簡單起見，我們假設 $ \bar{v}=0 $ . 讓 $$ \begin{align}\phi=\frac{var(\tilde{v})}{var(N\tilde{s}^i)}\end{align} $$

統計數據 $ \phi $ 是衡量每個代理資訊質量的指標。具體來說，它是 $ R^2 $ 線上性回歸中 $ \tilde{v} $ 在 $ \tilde{s}^i $ ，也就是說，它是變異數的百分比 $ \tilde{v} $ 這是由交易者的資訊解釋的。

讓 $ \rho $ 表示相關係數 $ \tilde{s}^i $ 和 $ \tilde{s}^j $ 為了 $ i\neq j $ , 可以計算 $ \phi $ 為了 $ N>1 $ 作為

$$ \begin{equation}\phi=\frac{1}{N}+\frac{N-1}{N}\rho\end{equation} $$

如果 $ \phi=1 $ ，那麼要麼 $ N=1 $ 或者 $ \tilde{s}^i $ 是完全相關的。在任何一種情況下，每個知情交易者都有關於 $ \tilde{v} $ .

我的問題如下

1. 直覺上是什麼意思“非退化聯合正態分佈”，特別是我想理解術語非退化。
2. “索引不變”是什麼意思？
3. 清算價值等於信號的總和，這是否來自假設它是 $ \tilde{s}^i $ ?
4. 我們如何找到該度量 $ \phi $ ? 是從線性回歸 $ \tilde{v} $ 在 $ \tilde{s}^i $ ?
5. 如何 $ \phi $ 被轉換為 $$ \begin{equation}\phi=\frac{1}{N}+\frac{N-1}{N}\rho\end{equation} $$

這是論文的連結

1. 退化聯合正態分佈是一種您無法找到分佈的 PDF 的分佈。他們認為你可以。（共變異數矩陣是可逆的）。
2. 讓 $ f(s_1,s_2\dots,s_n,v) $ 成為分佈。如果我要交換 $ s_1 $ 為了 $ s_2 $ , $ f(s_2,s_1,\dots,s_n,v) = f(s_1,s_2\dots,s_n,v) $ ，分佈不變。您可以根據需要交換任意數量的索引（信號）。
3. 分佈是共同正態的假設意味著 $ \tilde{v} $ 是一個仿射函式 $ \tilde{s}_i $ ，這意味著信號的總和。
4. 回歸 $ \tilde{v} $ 在 $ \tilde{s}_i $ 併計算 $ R^2 $ （確定係數）。
5. 這是我希望其他人可以回答的問題。

好吧，我會嘗試回答4。

我們知道資產清算價值 $ \tilde{v} $ 是單數的仿射函式，因此我們有 $$ \tilde{v}=\bar{v}+\sum_{i=1}^{N}\tilde{s}^i\Rightarrow \tilde{v}=\bar{v}+N\underbrace{\frac{\sum_{i=1}^{N}\tilde{s}^i}{N}}_{\tilde{s}^i}\Rightarrow\tilde{v}=\bar{v}+N\tilde{s}^i $$ 在哪裡 $ \tilde{s}^i $ 是平均信號，它是一個足以推斷資產清算價值的統計量，而不是單個信號，因為這也是由信號和資產清算價值具有非退化聯合正態分佈的假設驅動的在信號中是對稱的。因此，以知情交易者的組合資訊為條件的清算價值的期望由投影定理給出為（投影 $ \tilde{s}^i $ 在 $ \tilde{v} $ ):

$$ \mathbb{E}[\tilde{v}|\tilde{s}^i]=\mathbb{E}[\tilde{v}]+\frac{\mathbb{C}ov(\tilde{v},\tilde{s}^i)}{\mathbb{V}ar(\tilde{s}^i)}\left(\tilde{s}^i-\mathbb{E}(\tilde{s}^i)\right)\Rightarrow\mathbb{E}[\tilde{v}|\tilde{s}^i]=\bar{u}+\frac{\mathbb{C}ov(\tilde{v},(\tilde{v}-\bar{v})/N)}{\mathbb{V}ar(\tilde{s}^i)}\tilde{s}^i\Rightarrow\ \mathbb{E}[\tilde{v}|\tilde{s}^i]=\bar{v}+\frac{\mathbb{V}ar(\tilde{v})}{N^2\mathbb{V}ar(\tilde{s}^i)}\sum_{i=1}^{N}\tilde{s}^i\Rightarrow\mathbb{E}[\tilde{v}|\tilde{s}^i]=\bar{v}+\underbrace{\frac{\mathbb{V}ar(\tilde{v})}{\mathbb{V}ar(N\tilde{s}^i)}}{\beta^{i}}\sum{i=1}^{N}\tilde{s}^i $$

在哪裡 $ \beta^{i} $ 表示線性回歸的貝塔係數 $ \tilde{v} $ 在 $ \tilde{s}^i $ , 與 $ R $ -平方係數，因此

$$ \phi=\frac{\mathbb{V}ar(\tilde{v})}{\mathbb{V}ar(N\tilde{s}^i)} $$

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/41107