如何找到價格比pXp是的pXp是的frac{p_x}{p_y}?
（問題）假設兩個人組成一個經濟體，每個人都致力於 $ 10 $ 生產商品的勞動時間 $ x $ 和 $ y $ . 代理的實用性 $ S $ 和 $ J $ 是 $ U_S(x,y) = x^{0.3}y^{0.7} $ 和 $ U_J(x,y)=x^{0.5}y^{0.5} $ . 如果個人不關心他們是否生產 $ x $ 或者 $ y $ 每種商品的生產函式由下式給出 $ x=2l $ 和 $ y=3l $ 在哪裡 $ l $ 是用於生產每種商品的總勞動力，求價格比 $ \frac{p_x}{p_y} $ .
為此，我有兩種不同的解決方案：
- （解 1）假設勞動力價格為 $ p_l $ 在經濟中。為了最大化利潤 $ x $ ,$$ \pi_x(l_x^J, l_x^S, p_x,p_l) = p_xx - p_ll = 2p_x(l_x^J+l_x^S)-p_l(l_x^J+l_x^S) $$
差異化給了我們 $ p_l = 2p_x $ 如果我們在 $ y $ 的最大化問題，我們得到$$ p_l = 2p_x = 3p_y $$價格比率可以由此得出 $ 3/2 $ . 2. （解決方案2）給定 $ x $ , 生產可能性邊界由方程給出 $ x/2 + y/3 = l_x + l_y = 20 $ . 這個方程在最佳點的斜率給了我們價格比，它非常清楚 $ 3 $ .
我關於這個問題的問題：
- 我的兩個解決方案都正確嗎？
- 為什么生產可能性邊界 (PPF) 的斜率處於最佳狀態 $ (x^, y^) $ 等於價格比？這似乎是一個受 PPF 約束的成本最大化問題。
- 一旦我知道了 PPF，我如何找到最佳的 $ (x^, y^) $ ，讓我們說這個問題？我知道平衡需求和供應以及最大化利潤的常用方法。但是有什麼方法可以利用我們對 PPF 的了解來找到 $ (x^, y^) $ ?
尋找有競爭力的均衡價格 $ (p_X, p_Y, w=1) $ ，我們需要找到供應 $ X $ 和 $ Y $ 和勞動 $ L $ 兩家公司的需求：
$ \displaystyle\max_{x\geq 0,l_X\geq 0} p_Xx - l_X $ 受制於 $ x \leq 2l_X $
$ \displaystyle\max_{y\geq 0,l_Y\geq 0} p_Yy - l_Y $ 受制於 $ y \leq 3l_Y $
解決上述問題，供給 $ X $ 和 $ Y $ 作為：
$$ \begin{eqnarray*} x^s \in \begin{cases} \emptyset &\text{if } p_X > \frac{1}{2} \ [0,\infty) &\text{if } p_X = \frac{1}{2} \ {0} &\text{if } p_X < \frac{1}{2} \end{cases} \end{eqnarray*} $$ 和相應的勞動力需求 $ X $ 是 $ l^d_X = \dfrac{x^s}{2} $ . $$ \begin{eqnarray*} y^s \in \begin{cases} \emptyset &\text{if } p_Y > \frac{1}{3} \ [0,\infty) &\text{if } p_Y = \frac{1}{3} \ {0} &\text{if } p_Y < \frac{1}{3} \end{cases} \end{eqnarray*} $$ 和相應的勞動力需求 $ Y $ 是 $ l^d_Y = \dfrac{y^s}{3} $ .
這排除了可能 $ p_X > \frac{1}{2} $ 或者 $ p_Y > \frac{1}{3} $ 處於平衡狀態。因此，如果均衡存在，最優利潤將是 $ 0 $ .
現在我們可以找到需求 $ X $ 和 $ Y $ 通過解決以下問題：
$ \displaystyle\max_{x\geq 0,y\geq 0} x^{0.3}y^{0.7} $ 受制於 $ p_Xx + p_Yy \leq 10 $
$ \displaystyle\max_{x\geq 0,y\geq 0} x^{0.5}y^{0.5} $ 受制於 $ p_Xx + p_Yy \leq 10 $
解決上述問題，需要 $ X $ 和 $ Y $ 作為：
$ (x^d_S, y^d_S) = \left(\dfrac{3}{p_X}, \dfrac{7}{p_Y}\right) $
$ (x^d_J, y^d_J) = \left(\dfrac{5}{p_X}, \dfrac{5}{p_Y}\right) $
由於對這兩種商品的需求總是嚴格為正的，因此觀察供應排除了 $ p_X < \frac{1}{2} $ 或者 $ p_Y < \frac{1}{3} $ 處於平衡狀態。
因此，如果平衡存在，那麼一定是 $ p_X = \frac{1}{2} $ 和 $ p_Y = \frac{1}{3} $ . 我們現在可以驗證它確實是平衡。
均衡價格為 $ (p_X=\frac{1}{2}, p_Y=\frac{1}{3}, w=1) $ ，以及相應的平衡量 $ X $ , $ Y $ 和 $ L $ 是：
$ x^d_S + x^d_J = 6 + 10 = 16 = x^s $
$ y^d_S + y^d_J = 21 + 15 = 36 = y^s $
$ l^d_X + l^d_Y = \dfrac{x^s}{2} + \dfrac{y^s}{3} = 8 + 12 = 20 = 10+10=l^s_S + l^s_J $
$ \frac{p_x}{p_y}=\frac{3}{2} $ 因為如果 $ \frac{p_x}{p_y}>\frac{3}{2} $ , 兩個人都會有動機只生產 x，然後用收入從市場上購買 y。這將導致上升 $ p_y $ . 該過程將持續到 $ \frac{p_x}{p_y}=\frac{3}{2} $ . 類似地，如果 $ \frac{p_x}{p_y}<\frac{3}{2} $ ，每個人都有動機只生產 y 並用收入從市場上購買 x。這將導致上升 $ p_x $ 直到我們達到這個比例 $ \frac{p_x}{p_y}=\frac{3}{2} $ 這個解釋說明了為什麼價格比率必須是 PPC 的斜率。兩種解決方案都是正確的，只是在第二種解決方案中您可能打錯了，PPC 的斜率是 $ \frac{3}{2} $ .