如何使用間接效用函式找到效用函式？

間接效用函式如下所示：

$ v(p_x, p_y, I) = \frac{I^2}{p_x*p_y} $

在哪裡： $ I $ - 收入， $ p_i $ - 物美價廉 $ i ∈ x,y $ .

找到效用函式 $ U(x,y) $

假設效用函式是 $ u(x, y) = kxy $ 在哪裡 $ k>0 $ . 考慮以下問題

$ \displaystyle \max_{x\geq 0, y\geq 0} \ \ kxy \ \text{s.t.} \ p_Xx + p_Yy \leq I $

在哪裡 $ p_X >0 $ , $ p_Y > 0 $ ， 和 $ I\geq 0 $ .

解決上述效用最大化問題，我們得到以下解決方案（也稱為需求）：

$$ \begin{eqnarray*} (x^d,y^d)(p_X, p_Y, I) = \left(\frac{I}{2p_X},\frac{I}{2p_Y} \right) \end{eqnarray*} $$

效用的最優值或間接效用函式為：

$$ \begin{eqnarray*} V(p_X, p_Y, I) = u\left(\frac{I}{2p_X},\frac{I}{2p_Y} \right) = \frac{kI^2}{4p_Xp_Y} \end{eqnarray*} $$

因此，當 $ k = 4 $ 我們得到了所需的間接效用函式。所以， $ u(x, y) = 4xy $ .

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/52915