微觀經濟學
存在完美替代品時如何求效用可能性邊界？
當兩個效用函式都顯示完美替代品時（在具有消費者和兩種商品的 Edgeworth 經濟中），我試圖推導出效用可能性前沿 (UPF)。具體問題：
$ u_A = 2x_{1A}+x_{2A} $
$ u_B = x_{1B}+2x_{2B} $
每種物品的總禀賦為五。因此：
$ x_{1A}+x_{1B}=5 $
$ x_{2A}+x_{2B}=5 $
我們得到提示，“效用可能性集可以描述為 $ (u_A, u_B) $ 在非負數中 $ R^2 $ 滿足： $ u_A ≥ 0, u_B ≥ 0 $ ”。
我不斷嘗試不同的方法，但總是以不可能的條件結束。當遵循另一篇文章的建議（如何推導效用可能性邊界？）時，我不斷得到奇怪的一階條件，例如“1 = 0”。
一旦找到 UPF，我們就會被要求通過以下社會福利功能 (SWF) 來最大化社會福利：
$ W(u_A,u_B) = 3u_A + u_b $
先感謝您。
除了評論中提出的解決方案之外，還有一種更快的方法來找到福利最大化分佈：
請注意，社會福利也可以寫成 $ x_{1A} $ 和 $ x_{2A} $ 作為 $ W(x_{1A},x_{2A})=15+5x_{1A}+x_{2A} $ ，在 Edgeworth 框中最大化 $ (x_{1A},x_{2A})=(5,5) $ . 只要兩種商品的效用都在增加，這一點總是在契約曲線上，因此是獨立於個人偏好的特定形式的社會福利的最大化點。