如何證明凸性+擬線性偏好意味著凹效用？
讓 $ \succsim $ 是一個嚴格凸和擬線性的偏好關係。它被定義了，比如說， $ \mathbb{R}^2_{+} $ 並且在好的 1 上是擬線性的。
所以， $ U(x_{1},x_{2}) = x_{1} + f(x_{2}) $ . 如何證明 $ f $ 是嚴格凹函式嗎？
我正在解決 MWG 的問題 15.B.8，我什至無法理解解決方案手冊做了什麼！
非常感謝您提供任何提示和想法！
考慮任何 $ x_2’ $ 和 $ x_2’’ $ 在 $ \mathbb{R}_+ $ . 不失一般性，讓 $ x_2’’ > x_2’ $ . 我們可以選擇 $ x_1’=f(x_2’’)-f(x_2’) > 0 $ 以便 $ U(0,x_2’’)=U(x_1’,x_2’) $ . 讓 $ \lambda(x_1’,x_2’)+(1-\lambda)(0,x_2’’) $ 是一個凸組合 $ (x_1’,x_2’) $ ， 和 $ (0,x_2’’) $ . 自從 $ \succsim $ 是嚴格凸的並且 $ U(0,x_2’’)=U(x_1’,x_2’) $ ,
$$ \begin{eqnarray*} && U(\lambda(x_1’,x_2’)+(1-\lambda)(0,x_2’’)) > U(x_1’,x_2’) \ &\Rightarrow & U(\lambda x_1’+(1-\lambda)0,\lambda x_2’+(1-\lambda)x_2’’) > \lambda U(x_1’,x_2’)+(1-\lambda)U(0,x_2’’)\ldots(\because U(0,x_2’’)=U(x_1’,x_2’)) \ &\Rightarrow & \lambda x_1’+(1-\lambda)0 + f(\lambda x_2’+(1-\lambda)x_2’’) > \lambda (x_1’+f(x_2’))+(1-\lambda)(0 + f(x_2’’))\ &\Rightarrow & \lambda x_1’+(1-\lambda)0 + f(\lambda x_2’+(1-\lambda)x_2’’) > \lambda x_1’+(1-\lambda)0 + \lambda f(x_2’)+(1-\lambda)f(x_2’’) \ &\Rightarrow & f(\lambda x_2’+(1-\lambda)x_2’’) > \lambda f(x_2’)+(1-\lambda)f(x_2’’)\end{eqnarray*} $$ 所以， $ f(\cdot) $ 是嚴格凹的。