如果效用函式表示偏好關係是連續的，如何證明偏好關係是連續的

Debreu Theorem的反面，不知道如何開始這個問題。

為了讓你開始：

我們被告知，這個效用函式代表了一周的偏好關係。

那麼（及物性）

為了 $ x_1, x_2, x_3 \in X $ 假設我們得到 $$ u(x_1)\geq u(x_2)\geq u(x_3). $$ 這些是實數，鍊式弱不等式也意味著 $$ u(x_1) \geq u(x_3) $$

自從我們被告知這 $ u $ 表示一個偏好關係，那麼它一定是 $$ x_1 \succsim x_2,;; x_2 \succsim x_3,;; x_1 \succsim x_3. $$ 這證明了這個效用函式所代表的偏好關係是傳遞的。

完整性 當您查看任何兩個實數時，是否存在無法判斷一個是否高於、低於或等於另一個的情況？

連續性 您應該遵循對您的文章的評論中給出的建議，這實際上是告訴您將實值函式的連續性定義和偏好的連續性定義並排放置。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/52436