微觀經濟學
如何證明利潤函式在價格上是凸的（價格較小）？
根據這個網站，如果產出價格從 $ p* $ 到 $ p’ $ 並且要素價格保持不變，那麼選擇的新的生產束必須產生至少與舊束相同的利潤，因為舊的利潤將在更高的產出價格下產生至少同樣多的利潤。其背後的原因是可以理解的。
但是，它如何也適用於產出價格從 $ p* $ 例如 $ p" $ ? 如何確定最大利潤在 $ p" $ 肯定會高於 $ p* $ （而不是更低）？
另外，“如果我們繪製，將獲得反向凸性”中的“反向凸性”是什麼意思 $ \pi (p, w) $ 針對特定的要素價格， $ w_i $ ." 在同一個網站上的上述證明中？我什至無法在網際網路上找到該術語的正確定義。
我不認為這是一個案例。在您連結的頁面上，我們有證據證明利潤函式在 $ p $ . 如果產出價格下降， $ p \geq p’ $ 要素價格保持不變， $ w_i \leq w’_i $ 對於所有投入，那麼利潤將小於或等於前一個。
然後，關於您之前的問題：如何證明凹生產意味著輸入需求集是凸的？你可以讓 $ \mathbf{y}=(y,-\mathbf{x}) $ 利潤最大化 $ (p,\mathbf{w}) $ 這樣你的利潤函式就變成了 $ \pi(p,\mathbf{w})=py-\mathbf{wx} $ . 在2009 年秋季微觀經濟理論講座第 3 部分的第 12 頁上，您已連結，您可以看到證明（可能與您剛才連結的頁面相同，但不確定，因為該頁面無法正確打開給我（不能真正看到數學方程）。
至於你的第二個問題——“反向凸性”是一個有點奇怪的表達方式，為了說明作者的意思，我將使用一張圖片。
如您所見，投入價格仍然是凸的 $ w $ . 但是，與帶有輸出價格的繪圖相比 $ p $ , 它正在減少。
代數上，你可以這樣看：
- 利潤函式在兩個價格中都是凸的：$$ \frac{\partial^2\pi}{\partial p^2}>0 ;;; \textrm{and} ;;; \frac{\partial^2\pi}{\partial w^2}>0 $$
- 利潤函式在產出價格中增加 $ p $ :$$ \frac{\partial\pi}{\partial p}>0 $$
- 利潤函式在投入價格中遞減 $ w $ :$$ \frac{\partial\pi}{\partial w}<0 $$
