如果對簡單彩票的理性偏好關係≿≿succsim是凸的，那麼它們滿足獨立性嗎？
假設有一個不確定的情況 $ N $ 可能的後果 $ C = {C_1, . . . C_N} $ . 假設存在理性偏好關係 $ \succsim $ 超過簡單的彩票。
我知道如果 $ \succsim $ 滿足獨立性，那麼它也是凸的，但如果 $ \succsim $ 是凸的，那麼它們滿足獨立性嗎？我怎樣才能證明這一點（如果暗示是真的）
- 眾所周知，如果 $ \succsim $ 滿足獨立，那麼它也是凸的。
自從 $ \succsim $ 滿足獨立， $ L\succsim L^{’} \iff \alpha L+(1-\alpha)L^{’’}\succsim \alpha L^{’}+(1-\alpha)L^{’’} $ 對全部 $ \alpha \in [0,1] $ 和 $ L, L^{’}, L^{’’}\in \mathfrak{L} $
凸性要求：
$ L\succsim L^{’’} $ 和 $ L^{’}\succsim L^{’’} \Longrightarrow \alpha L $ + $ (1-\alpha)L^{’} \succsim L^{’’} $ 對全部 $ \alpha \in \left[0,1\right] $ 和 $ L, L^{’}, L^{’’}\in \mathfrak{L} $
選擇任何 $ L, L^{’}, L^{’’}\in \mathfrak{L} $ 和 $ L \succsim L^{’’} $ 和 $ L^{’} \succsim L^{’’} $ . 通過完整性， $ L \succsim L^{’} $ 或者 $ L^{’} \succsim L $ 或兩者。不失一般性，假設 $ L \succsim L^{’} $ . 然後，通過獨立，為所有人 $ \alpha \in [0,1]: $
$ \alpha L $ + $ ( 1- \alpha) L^{’} \succsim \alpha L^{’} + (1-\alpha)L^{’} = L^{’} \succsim L^{’’} $ ，我們想展示。
- 如果是真的嗎 $ \succsim $ 是凸的，那麼它們滿足獨立性嗎？
另一方面，凸性並不意味著獨立。要看到這一點，請看一下圖（見下文）。三角形是無差異曲線，箭頭表示效用增加的方向。它是凸的，但不是獨立的。
