如果 Cobb-Douglas 效用函式的恩格爾曲線是正的和線性的，那是否意味著它既不是必需品也不是奢侈品？

由於恩格爾曲線的凹度決定了它是必需品還是奢侈品（即數量需求相對於收入變化的變化速度），並且由於 Cobb-Douglas Engel 曲線的二階導數為 0，這是否意味著它是既不是類別？

編輯：簡單來說，如果恩格爾曲線是一條正斜率的直線，那顯然是正常商品。但如果曲線由如下函式表示：

$ I = 10 * P_x * x. $

然後曲線不明確地傾斜。如果價格 $ x $ ( $ P_x $ ) 恰好大於 1/10 則該商品是奢侈品，反之亦然 $ P_x < 1/10 $ . 但是，如果它像這樣模棱兩可，那麼二階導數（表示凹度，因此曲線增加/減少的方向）那麼就不可能說出來嗎？

作為參考，此恩格爾曲線源自 Cobb-Douglas 效用函式：

$ U(x,y) = x^{(1/10)}y^{(9/10)}. $

回想一下奢侈品和必需品的以下等效定義：

• 一個好的 $ x $ 被認為是必要的，如果 $ e_{(x,I)}<1 $ .
• 一個好的 $ x $ 被認為是奢侈品，如果 $ e_{(x,I)}>1 $ .

如您所見，這些定義並未涵蓋所有可能的情況，因此任何特定商品都不必是奢侈品或必需品。

在 Cobb-Douglas 效用函式的情況下 $ U(x,y)=x^\alpha \cdot y^\beta $ 我們得到 $ x^* = \frac {\alpha I}{P_x} $ . 可以很容易地驗證 $ e_{(x,I)}=1 $ . 換句話說，需求確實 $ x $ 不隨 $ I $ . 這意味著在這種情況下， $ x $ 既不是奢侈品也不是必需品。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/10669