伯努利效用的 Inc 線性變換
根據 MWG 提案 6.B.2，它說明只有通過增加線性變換才能保留預期效用形式。
這個命題的意義何在？
我發現連接點的挑戰性部分是，在這個命題得到證明之後，作者聲稱這個命題允許我們解釋效用差異的意義。這兩者究竟是如何联繫起來的？
這是一個微妙的話題。任何嚴格遞增的轉換都將保留彩票的順序。這是標準的結果，說效用只是一個序數的東西，我們真的不在乎它的水平。
另一方面，從計算的角度來看，有些人的偏好更容易處理，或者提高我們對問題的基本經濟學的理解。一個例子是當我們對商品 1 有準線性偏好時（查看 MWG，此範例的第 3 章）。在這種情況下，我們有 $ U(x_{1},…,x_{I}) = x_{1} + \phi(x_{2},…,x_{I}) $ . 當然，如果我們採用，比如說，指數 $ U $ ，我們將保留排序，但不是這個非常有用的表示。
當談到第 6 章和彩票上台時，同樣的情況也會發生。一個人對彩票的效用（將其視為不同場景下的消費分佈）可能是一個非常複雜的功能。也許，如果開始下雨，打傘獲得的效用還取決於當您的足球隊獲勝並且您不在家觀看比賽時您獲得的效用。VNM 實用程序表示非常有用，因為它將不同場景的實用程序分開。
因此，當您開始比較彩票時，給定彩票中下雨時打傘機率增加的影響與另一種情況的更高機率的影響完全隔離。如果我們在場景中保持消費固定，並且只讓描述可能發生的情況的機率分佈發生變化，則 VNM 效用形式將讓我們隔離不同機率對場景的影響，並通過兩個場景之間的機率差異來表示總效用的差異。比較彩票。
只有線性變換才保留這種格式的原因是，根據定義，VNM 實用程序形式是線性的，而線性函式的非線性變換不是線性的。從我的角度來看，這在某種程度上與 Jensen 的不等式有關（至少我直覺上是這樣解釋的）。
我希望這有幫助！