馬歇爾需求的間接變化
假設我們有一個 Cobb-Douglas 效用函式：
$$ U(x,y)=x^\alpha y^\beta $$和預算約束：$$ p_{x}x+p_{y}y=I $$在哪裡 $ \alpha+\beta=1 $ . 可以證明，馬歇爾的需求 $ x $ 和 $ y $ 是 $ x^=\frac{\alpha I}{p_{x}} $ 和 $ y^=\frac{\beta I}{p_{y}} $ 分別。
是否有變化 $ p_{y} $ 影響數量 $ x $ 要求？通過查看 $ x $ 的馬歇爾需求，似乎這種變化不會影響 x 的需求量，但 $ p_{x} $ 和 $ p_{y} $ 與預算約束有關，這讓我不太確定。
您正確導出了 Cobb-Douglas 效用的馬歇爾需求函式，您注意到 $ x $ 或者 $ y $ 僅是個人收入和所述商品價格的函式。這是 CD-utility 的一個有趣特性，即當價格好 $ y $ 改變需求 $ x $ 沒有改變。這意味著 $ x $ 和 $ y $ 既不是替代品，也不是互補品。Econport有一個很好的數字：
$ \hskip2in $
第一張圖顯示，作為商品的價格 $ x $ 改變數量 $ x $ 變化，但數量 $ y $ 不改變。第二個圖表明，隨著價格上漲，需求量減少，反之亦然。
作為旁注，CD 效用進一步意味著嚴格的準凹效用，因此無差異集是嚴格凸的，因此 $ \vec{x}^* (\vec{p},I) $ 是單值的。在價格不變的情況下 $ y $ 和價格 $ p_a, p_b, p_c $ 為了 $ x, $ 我們在點上選擇每種商品的最優消費水平 $ a = (x_a, y_a) ,b = (x_b, y_b) ,c = (x_c, y_c) $ ，使得預算超平面的斜率和無差異曲線的切線斜率相等。
為了簡單地補充 Sunhwa 的答案，為什麼價格 $ y $ 不影響消費好 $ x $ 是因為 Cobb-Douglas 效用函式的獨特性質。改變商品的價格會改變價格比率，這是決定商品消費比率的一部分。所以即使價格 $ y $ 會上漲，導致你買得更少 $ y $ ，這也會改變你購買的商品的比例，即使你沒有改變 $ x $ . 在這種情況下，優化條件最終是這樣你就不必改變 $ x $ 完全（對於所有其他條件相同）。
$$ \frac{p_y}{p_x} \cdot \frac{\alpha}{\beta} = \frac{x}{y} $$ 如果您認為合適，請仔細閱讀此條件。