利潤最大化問題的內部解法
一個函式 $ c: \mathbb{R}^K_+ \xrightarrow{} \mathbb{R}_+ $ is 被稱為成本函式，如果
- 功能價值 $ c $ 在 $ y = \textbf{0} $ 是 $ 0 $ : $ c(\textbf{0}) = 0 $
- $ c $ 在域上是連續的 $ \mathbb{R}^K_+ $ , 嚴格遞增和嚴格凸 $ \mathbb{R}^K_{+} $
- 對於任何 $ p \in \mathbb{R}^K_{++} $ , 集合 $ B(p) = {y \in \mathbb{R}^K_+| c(y) \leq p \cdot y} $ 結構緊湊，內部 $ B(p) $ 是非空的。
假設一家公司有成本函式 $ c(\cdot) $ 和 $ p\in \mathbb{R}^K_{++} $ 是市場價格。我需要添加什麼樣的拓撲假設來保證利潤最大化問題 的內部解決方案的存在？$$ \pi (p) = \max_{y\in\mathbb{R}^K_+} \left{ p\cdot y - c(y) \right} $$
備註1：從假設（2）和（3），可以保證解的存在。由於嚴格的凸性，也保證了唯一性。但是，解決方案可能不在內部 $ \mathbb{R}^K_{+} $ . 目前我找不到這方面的例子。
備註 2：我要查看的原型成本函式是 $ c(y) = y_1^2+y_2^2 $ . 然而，成本不一定是可加法可分的。
您的假設 3 與此類角落解決方案兼容 $ y_i=0 $ 對於一些 $ i $ ，並且不足以避免某些價格足夠小的角落解決方案。
對於生產函式，通常假設 Inada 的條件來避免角解。對於成本函式，這些條件很自然地表示為 $$ \lim_{y_i\rightarrow 0} \frac{\partial c}{\partial y_i}(y_i,y_{-i})=0 $$ $$ \lim_{y_i\rightarrow +\infty} \frac{\partial c}{\partial y_i}(y_i,y_{-i})=+\infty. $$
在您的討論中，您提出了成本函式$$ c(y_1,y_2)=y_1^2+y_2^2+2y_1 $$來說明角落解決方案。此函式不滿足第一個 Inada 條件 wrt $ y_1 $ ，因此角解。
總結的一般性評論：禁止公司退出給定的產出市場並不是完全自然的。在 IO 中有相當動態的關於進入和退出的文獻。沒有一家公司生產經濟中所有可用的產品。