解釋：替代彈性
我有這個生產功能：
$$ P(x_1,x_2)=x_1+x_1*x_2 $$ 我試圖找到替代彈性，我發現了這一點：
$$ \sigma = -\frac{d \ln (\frac{x_2}{x_1})}{d \ln(\frac{x_1}{1+x_2})} $$ 然後我有這些條件：
$ x_1 >0 $ 和 $ x_2=0 $
當把這個數字放進去時，我有 ln (0) 這是不可能的，這個替代彈性的解釋是什麼？
彈性是零還是無窮大？
邊際產品的比率 $ \frac{\partial P}{\partial x_1}/\frac{\partial P}{\partial x_2} $ （技術替代的邊際率）等於 $ 1/x_1+r $ 在哪裡 $ r\equiv x_2/x_1 $ .
MRS wrt的導數 $ r $ ( $ \frac{d MRS}{d r} $ ) 等於 $ 1-\frac{g}{MRS-r} $ ， 在哪裡 $ g\equiv \frac{dln(x_1(r))}{dr} $ .
注意如何 $ \frac{dln(MRS)}{dr} $ 這相當於 $ \frac{d MRS/d r}{MRS} $ 等於 $ \frac{MRS-r-g}{MRS(MRS-r)} $ . 還要注意如何 $ \frac{dln(r)}{dr}=1/r $ .
重新排列最後兩個關係以獲得表達式 $ dln(MRS) $ 和 $ dln(r) $ 並代入替代收益率彈性的定義 $ -\frac{MRS(MRS-r)}{(MRS-g-r)r} $ .
最後，注意如何 $ r=0 $ 什麼時候 $ x_2=0 $ . 還， $ MRS=1/x_1 $ 什麼時候 $ x_2=0 $ . σ的行為取決於 $ g\equiv \frac{dln(x_1(r))}{dr} $ 在 $ x_2=0 $ . 如果值 $ g $ 被定義並且是有限且恆定的然後 $ σ $ 方法 $ - \infty $ .
直覺地說，行為 $ g $ 靠近 $ x_2=0 $ 取決於等值線的形狀。 $ g $ 表示（成比例的）變化率 $ x_1 $ 作為一個無限小的變化的結果 $ r $ . 下圖顯示，對於 $ x_2 $ 接近零（注意垂直軸上的值），等值線非常陡峭。
非常非正式地，在這種情況下，（真的）微小的變化 $ r $ - 等於 $ x_2/x_1 $ （相當於角的正切 $ θ $ )- 幾乎沒有影響 $ x_1 $ . 為了 $ Δθ $ 接近零 $ Δx_1 $ 也很小，可能也接近於零。等效且非常鬆散地說，在該區域 $ g $ 也應該接近於零。
