需求和成本曲線的解釋
我目前在學校開始討論壟斷的話題，我遇到了以下情況：
壟斷者面臨一條由下式給出的需求曲線 $ Q = \frac {100} p $ 和給出的成本函式 $ C = 4Q $ . 我需要找到需求價格彈性 (PED) 以及壟斷者的最佳產出水平。
我被教導說 $ MR = P(1 + \frac 1 \epsilon) = MC $ ， 在哪裡 $ \epsilon $ = PED。
我知道任何生產商都在 $ MR = MC $ ，但在我開始解決 PED 之前，我想知道在這種情況下如何 $ MR = MC $ ?
如果我沒有錯，根據我的計算， $ MR = 0 $ 和 $ MC = 4 $ . 我如何解釋這個？
那麼，由於 $ MR \neq MC $ ，我該如何繼續這個問題？
任何關於如何計算 PED 和最佳輸出水平的直覺解釋都將不勝感激:)
你的計算沒有錯。首先，一種更簡單、更直覺的計算邊際收益的方法是對總收益求導。
總收入是價格乘以數量 $ TR=P (Q) Q $ 其中價格仍然是數量的函式，因為價格較高時人們需要的商品數量較少（我用 Q 表示一切，因為這是您模型中的選擇變數）。代入數量我們得到：
$$ TR= (100/Q)Q \implies MR = \frac{dTR}{dq} = 0 $$
因此，在這種情況下，它們確實為零。此外，在這種情況下，壟斷者的利潤最大化問題甚至沒有解決方案。利潤為總收入減去總成本，因此：
$$ \Pi = TR-TC = (100/Q)Q -4Q $$
如果我們試圖推導出最大化的一階條件，我們只會得到 0=4，這意味著沒有解決方案。為了清楚起見，我什至在 R 中為您的問題編寫了視覺化程序，這就是綠色曲線是需求的樣子，紅線是邊際收入，藍線是邊際成本。
所以我在這裡看到三個選項：
- 這是一個技巧問題，你的老師希望正確的答案是沒有解決方案（標準非負實數中沒有解決方案，因為可以說產生的數量應該盡可能小但不為零（無窮小）從右側-但這不是標準實數）。
- 您誤讀了問題或在部分問題中犯了錯誤，該問題要求您首先從某些文本中創建成本函式或需求。
- 你的老師在做題時犯了一個錯誤。
因此，我的建議是首先確保您徹底閱讀設置，如果那裡沒有錯誤，請聯繫您的老師並詢問老師是否可能犯了錯誤，因為您的情況下 MR 為零。如果沒有錯誤，那麼它是一個正確的解決方案。
回複評論中的問題：
需求價格彈性定義為：
$$ \epsilon = \frac{d Q}{dp}\frac{p}{Q} $$
所以在你的情況下，它將是：
$$ \epsilon = -\frac{100}{p^2} \frac{p}{\frac{100}{p}}= -\frac{100}{p^2} \frac{p^2}{100} = -1 $$
附錄：作為對評論的回應，我還添加了對這種情況下壟斷者利潤的模擬，假設利潤函式為：
一種） $ \Pi = \frac{100}{Q} Q -4Q $ - 紅色
b) $ \Pi = 100 - 4Q $ - 藍色
