反向 Shephard 引理的直覺

我不知道如何措辭這個問題。我很好地理解了包絡定理，因此謝潑德引理。證明相對簡單。我陷入了整合希克斯需求函式並因此獲得（總）支出函式背後的直覺。這似乎是對包絡定理的某種反轉。

假設我們有兩個美好的世界。典型的希克斯需求函式可以寫成 p1、p2 和效用的函式。使用微積分基本定理和包絡定理，我知道將這個函式在一個關於 p1 或 p2 的區間上積分將給我們返回總支出函式。因此，如果我們在一個範圍內對 p1 進行積分，例如，它會給我們總支出的變化。我不清楚的是（直覺地）如何包括商品 2 的支出。

在單變數積分中，很容易直覺地理解這一點。如果我們有 x 並且我們在一個區間內積分一個函式 f(x)，這很容易理解為將無限小的變化乘以 f’(x) 的變化率來得到 f( X）。在希克斯案例中，我們似乎將商品 1 價格的無限小變化加起來乘以變化率（商品 1 的希克斯需求），並假設商品 2 的支出是恆定的，而實際上它們幾乎肯定不會是恆定的。有沒有更好的方法來理解這一點？商品 2 的支出是否隱含包括在內？

良好的支出 $ 2 $ 確實包含在內，並且可能會有所不同。

我們從 Shephard 引理中知道，只要支出的邊際變化為善 $ 1 $ 關於它的價格隨商品的價格而變化 $ 1 $ ，希克斯對商品的需求 $ 1 $ 也必須有所不同。但由於效用是固定的，希克斯對商品的需求會發生變化 $ 1 $ 需要改變希克斯對商品的需求 $ 2 $ ，沿無差異曲線移動。而且由於我們不改變商品的價格 $ 2 $ , 商品支出 $ 2 $ 也必須有所不同。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/42075