DARA 實用程序是否大部分時間都在暗示 CRRA？
關於風險厭惡的維基百科頁面指出，“恆定的相對風險厭惡意味著減少的絕對風險厭惡，但反過來並不總是正確的”。讓我把這句話分解成兩部分：
1/“恆定的相對風險厭惡意味著減少絕對風險厭惡。”
一個簡單的例子是日誌實用功能， $ u(c) = \ln(c) $ ， 和 $ c>0 $ 滿足 DARA，因為效用函式是正偏態的 $ \left(u’’’=\frac{2}{c^3} >0\right) $ 並且意味著相對風險厭惡等於 $ 1 \left(=-c\frac {u’’(c)}{u’(c)}\right) $ .
2/“但反過來並不總是正確的”。
我想知道這是否是最常見的情況？或者，如果大多數時候 DARA 效用函式也表現出 CRRA？
如果您能用一些實用功能來說明您的答案，我將不勝感激。
使用從這個答案中得出的結果，對於任何效用函式，我們都有以下關係：
（絕對風險厭惡= $ A(c) $ , 相對風險厭惡 = $ R(c) $ ) :
$$ A(c) = -\frac {u’’(c)}{u’(c)},;;; R(c) = cA(c), ;; A(c) = \frac 1c R(c) $$ 所以
$$ \frac {\partial A(c)}{\partial c} = \frac {\partial [(1/c)R(c)]}{\partial c}= -\frac 1{c^2} R(c) + \frac 1{c}\frac {\partial R(c)}{\partial c} \tag{1} $$ 和
$$ \frac {\partial R(c)}{\partial c} = \frac {\partial [cA(c)]}{\partial c}=A(c) + c\frac {\partial A(c)}{\partial c} \tag{2} $$ 請記住，這些度量主要針對效用函式進行討論，其中 $ u’’<0 $ ，因此它們被視為代數正數，我們可以推斷出哪些關係肯定成立，哪些不成立。
現在 $ ARA $ 滿足身份
$$ u’’+ A(c)u’ \equiv 0 \implies u’’’ + A’u’ + A u’’ = 0 \implies u’’’ = -A’u’ + A (-u’’) $$ 這 $ DARA $ 家庭的特點是 $ A’ <0 $ 所以我們得到（足夠的）
$$ DARA \implies u’’’>0 $$ 所以假設 $ DARA $ 我們在知識中獲得的是 $ u’’’>0 $ .
反過來 $ RRA $ 滿足身份
$$ cu’’+ R(c)u’ \equiv 0 \implies u’’+ cu’’’ + R’u’ + R u’’ = 0 $$ $$ \implies c u’’’ = -R’u’ + (-u’’)(1+R) $$ 假設 $ DARA $ ， 我們有 $ u’’’>0 $ 所以我們知道的是
$$ -R’u’ + (-u’’)(1+R) > 0 \implies (-u’’)(1+R) > R’u’ $$ $$ \implies R(1+R) > c\cdot R’ $$ 這是約束 $ DARA $ 強加於 $ RRA $ . 我們看到不等式可以滿足 $ R’ $ 負數或零，甚至正數，達到一定程度。