短期成本曲線的最低點是否可能不接觸長期成本曲線？
在回答這個問題時，回答者說“短期成本曲線的最低點將高於長期成本曲線”。這是真的嗎？如果是這樣，怎麼會這樣？
我認為如果例如短期產能太小或太大，它只會表示為與長期成本曲線相切的不同短期成本曲線。
長期平均成本曲線 (LRAC) 必須通過短期平均成本曲線 (SRAC) 的最低點的想法是一個謬誤，但它似乎是一個非常合理的想法。這是經濟學家雅各布·維納（Jacob Viner）的一個著名錯誤的根源，西爾伯伯格在這篇論文中提到了這一錯誤。謬誤的基礎可能是假設與 LRAC 的切點必須是 SRAC 的最小點。這些點在 SRAC 與 LRAC的最小點相切的特殊情況下是重合的。但通常它們是不同的，如下面的數字範例所示。
假設一家公司有一個報酬遞增的 Cobb-Douglas 生產函式 $ y = x_1^{0.6}x_2^{0.6} $ . 投入是在供給不是完全彈性的市場中購買的，因此成本是數量的遞增函式：
$ \quad c_1(x_1) = 20x_1 + x_1^2 $
$ \quad c_2(x_2) = 20x_2 + x_2^2 $
兩個輸入在技術和成本方面的對稱性對於獲得一個合適的例子並不是必需的，但它很方便，因為它意味著 LRAC 上的每個點都必須滿足 $ x_1=x_2 $ （證明見下文附錄）。這簡化了 LRAC 方程的推導。
LRAC
寫作 $ c(a,b) $ 對於有輸入的總成本函式 $ a, b $ 並給出 $ x_1=x_2 $ 我們有：
$ \quad c(x_1,x_2) = 40x_1 + 2x_1^2\qquad(1) $
$ \quad y = x_1^{1.2}\qquad(2) $
因此：
$ \quad x_1 = y^{5/6}\qquad(3) $
$ \quad c(x_1,x_2) = 40y^{5/6} + y^{5/3}\qquad(4) $
所以：
$ \quad LRAC = \frac{40y^{5/6} + 2y^{5/3}}{y} = 40y^{-1/6}+2y^{2/3}\qquad(5) $
要找到最小點：
$ \quad \frac{dLRAC}{dy} = (-40/6)y^{-7/6} + (4/3)y^{-1/3} = 0\qquad(6) $
$ \quad -40/6 + (4/3)y^{5/6} = 0\qquad(7) $
$ \quad y^{5/6} = 5\qquad(8) $
$ \quad y=6.90\qquad(9) $
要確認這是最低要求：
$ \quad \frac{d^2LRAC}{dy^2} = (280/36)y^{-13/6} + (-4/9)y^{-4/3} $ $ \quad = (280/36)0.0152 – (4/9)0.0761 = 0.118 – 0.034 = 0.084 \boldsymbol{> 0}\qquad(10) $
使用 (3) 的最小輸入是：
$ \quad x_1 = x_2 = 6.90^{5/6} = 5.00\qquad(11) $
SRAC
現在假設 $ x_1 $ 是自由可變的，但 $ x_2 $ 在短期內固定在一個值以外的值 $ 5.00 $ ， 說 $ 2 $ . 然後：
$ \quad y = x_1^{0.6}(2^{0.6})\qquad(12) $
$ \quad c(x_1,x_2) = 20x_1 + x_1^2 + 44\qquad(13) $
因此：
$ \quad x_1 = (2^{-0.6}y)^{5/3} = (1/2)y^{5/3}\qquad(14) $
$ \quad c(x_1,x_2) = 10y^{5/3} + (1/4)y^{10/3} + 44\qquad(15) $
所以：
$ \quad SRAC(x_2 = 2) = \frac{10y^{5/3} + (1/4)y^{10/3} + 44}{y} = 10y^{2/3} + (1/4)y^{7/3} + 44y^{-1}\qquad(16) $
一階導數是：
$ \quad \frac{dSRAC}{dy} = (20/3)y^{-1/3} + (7/12)y^{4/3} – 44y^{-2}\qquad(17) $
LRAC 和 SRAC 之間的關係
兩條曲線相遇時 $ x_1=x_2=2 $ 暗示 $ y = 2^{1.2} = 2.2974 $ 從那時起，使用（5）和（16）：
$ \quad LRAC = 40(2.2974^{-1/6}) + 2(2.2974^{2/3}) = 34.822 + 3.482 = \boldsymbol{38.30}\qquad(18) $
$ \quad SRAC = 10(2.2974^{2/3}) + (1/4)(2.2974^{7/3}) + 44(2.2974^{-1}) $ $ \quad = 17.411 + 1.741 + 19.152 = \boldsymbol{38.30}\qquad(19) $
此外，由於使用（6）和（17），它們在該點上是切線的，因此各自的斜率是：
$ \quad \frac{dLRAC}{dy} = (-40/6)(2.2974^{-7/6}) + (4/3)(2.2974^{-1/3}) $ $ \quad = -2.526 + 1.010 = \boldsymbol{-1.52}\qquad(20) $
$ \quad \frac{dSRAC}{dy} = (20/3)2.2974^{-1/3} + (7/12)2.2974^{4/3} + (-44)2.2974^{-2} $ $ \quad = 5.052 + 1.768 – 8.336 = \boldsymbol{-1.52}\qquad(21) $
但是，這個切點不是SRAC 的最小點。使用 (17) 求最小值：
$ \quad \frac{dSRAC}{dy} = (20/3)y^{-1/3} + (7/12)y^{4/3} – 44y^{-2} = 0\qquad(22) $
$ \quad (20/3)y^{5/3} + (7/12)y^{10/3} – 44 = 0\qquad(23) $
將其視為二次方程 $ y^{5/3} $ ，或者通過反複試驗，可以發現 $ y $ 大約是 $ 2.525 $ . 要確認這是最低要求：
$ \quad \frac{d^2SRAC}{dy^2} = (-20/9)2.525^{-4/3} + (28/36)2.525^{1/3} + (88)2.525^{-1} = -0.646 + 1.059 + 34.851 = 35.26 \boldsymbol{> 0}\qquad(24) $
在這個最低點：
$ \quad SRAC = 10(2.525^{2/3}) + (1/4)2.525^{7/3} + 44(2.525^{-1}) $ $ \quad = 18.543 + 2.170 + 17.426 = \boldsymbol{38.14}\qquad(25) $
這低於與 LRAC 的切點（ $ \boldsymbol{38.30} $ )，但在 LRAC 之上 $ y = 2.525 $ 使用（5）是：
$ \quad LRAC = 40(2.525^{-1/6}) + 2(2.525^{2/3}) = 34.278 + 3.709 = \boldsymbol{37.99}\qquad(26) $
附錄
認為 $ x_1\neq x_2 $ 然後讓 $ x* = \sqrt{x_1x_2} $ . 然後：
$ \quad y(x_1,x_2) = (x_1x_2)^{0.6} = (x*^2)^{0.6} = y(x*,x*)\qquad(27) $
$ \quad c(x_1,x_2) = 20(x_1 + x_2) + x_1^2 + x_2^2 $ $ \quad = 20[(\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2})^2 + 2\sqrt{x_1x_2}] + (x_1 – x_2)^2 + 2x_1x_2 $ $ \quad \boldsymbol{>} 2[20\sqrt{x_1x_2}) + (\sqrt{x_1x_2})^2] = c(x*,x*)\qquad(28) $
因此輸入組合 $ (x*,x*) $ 以更低的成本獲得相同的產出 $ (x_1,x_2) $ ，因此後者不對應於 LRAC 上的一個點。
亞當貝利是正確的。
考慮生產函式 $ f(x_1,x_2) = x_1 + x_2/2 $ 在哪裡 $ (x_1,x_2) $ 是輸入。
如果投入成本是 $ w_1=w_2=1 $ 並且所有輸入都是自由選擇的，成本最小化問題的解決方案是 $$ \begin{align*} x_1 & = y \ \ x_2 & = 0. \end{align*} $$ 然而，在短期內，一個或多個輸入量可能是固定的。如果 $ x_2 = \bar{x}_2 > 0 $ ，這永遠不是最優的，短期成本總是高於長期成本。在這種情況下，長期和短期成本函式將是 $$ \begin{align*} C(y) & = y \ \ C_s(y,\bar{x}_2) &= \bar{x}_2 + \max(y - \bar{x}_2/2;0) \geq y + \bar{x}_2/2 > C(y). \end{align*} $$
亞當的另一點（在他在這個問題下的評論中提到）是 $$ C(y) = \min_{\bar{x}_2} C_s(y,\bar{x}_2). $$