是不是真的d大號dq=1/∂q∂大號d大號dq=1/∂q∂大號frac{dL}{dq}=1/frac{partial q}{partial L}?
邊際成本 MC 定義為 $ MC=\frac{dC}{dq} $ . 考慮到 $ C=wL+rK $ ,
$$ MC=\frac{dC}{dq}=w\frac{dL}{dq}+r\frac{dK}{dq} $$ 回想一下勞動的邊際產品 $ MP_{L}=\frac{\partial q}{\partial L} $ 和資本的邊際產品 $ MP_{K}=\frac{\partial q}{\partial K} $ .
問：下列說法正確嗎
$$ \frac{dL}{dq}=1/\frac{\partial q}{\partial L},;\frac{dK}{dq}=1/\frac{\partial q}{\partial K} $$ 這意味著
$$ MC=w\frac{1}{MP_{L}}+r\frac{1}{MP_{K}} $$ 如果不是，則無需進一步閱讀。
如果是，那麼考慮企業的利潤最大化。
$$ \max_{L,K}pq\left(L,K\right)-wL-rK $$ 火：
$$ \begin{cases}pMP_{L}=w\pMP_{K}=r\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}MP_{L}=\frac{w}{p}\MP_{K}=\frac{r}{p}\end{cases} $$ 所以，
$$ MC=w\frac{1}{MP_{L}}+r\frac{1}{MP_{K}}=w\frac{1}{w/p}+r\frac{1}{r/p}=p+p=2p $$ 結果肯定是錯的。我想知道，我在推導的哪一步犯了錯誤？
問題：以下是否正確？
$$ \frac{dL}{dq}=1/\frac{\partial q}{\partial L},;\frac{dK}{dq}=1/\frac{\partial q}{\partial K} $$
一般來說，沒有。自從 $ q= f(L,K) $ 是一個多變數單值函式，則由隱函式定理應用於隱含方程 $ H = f(L,K)-q=0 $ ，我們只能說
$$ \frac {\partial L}{\partial q} = -\frac {\partial H/\partial q}{\partial H /\partial L} = -\frac {-1}{MP_L} = \frac {1}{\partial q /\partial L} $$ 本質上，我們在這裡對待 $ q $ 作為單變數函式（通過偏導數，我們保持所有其他變數不變）。
但總導數是另一回事。
為了 $ q = f(L,K) $ ，我們有隱式關係 $ L = L(q,K) $ 因此，通過取總微分並除以 $ dq $ 我們得到
$$ \frac {d L(q,K)}{d q} = \frac {\partial L(q,K)}{\partial q} + \frac {\partial L(q,K)}{\partial K}\frac {dK}{dq} $$ 但 $ \frac {\partial L}{\partial K} \neq 0 $ , 因為我們隱含地保持 $ q $ 常數，以便計算這個偏導數，因此通過改變 $ K $ 我們也必須改變 $ L $ . 另一種可能性是 $ dK/dq $ 為零。如果我們沒有這樣的生產函式（或者我們不在這樣的事情成立的範圍內），我們得到
$$ \frac {dL}{dq} \neq \frac {\partial L}{\partial q} = \frac {1}{\partial q/\partial L} $$
它是有效的，但僅在短期內假設資本是固定的。
通過假設產出取決於勞動力和資本，你可以寫
$$ q=q(L,K) $$ 現在取總導數
$$ dq=\frac{\partial q}{\partial L}dL+\frac{\partial q}{\partial K}dK $$ 在短期內，資本是固定的，例如 $ dK=0 $
$$ \longrightarrow\quad dq=\frac{\partial q}{\partial L}dL\longrightarrow \frac{dL}{dq}=1/\frac{\partial q}{\partial L} $$