u(x)=min(x1,x2,x3) 表示的偏好關係是凸的嗎？對或錯
取兩個束 x 和 y x = u(x1, x2, x3) y = u(y1, y2, y3) 我明白當 x=y, x<y, x>y 我明白時，我必須考慮三種情況來證明凸性當 x=y 但我不如何證明最後兩種情況的凸組合？
讓 $ x,y,z \in \mathbb{R}_{+}^3 $ 是消費束，使得 $ y \geq x, z \geq x $ . 讓 $ \lambda \in [0,1] $ .
$$ \begin{equation} u(\lambda y + (1-\lambda) z) = \min(\lambda (y_1,y_2,y_3) + (1 - \lambda) (z_1,z_2,z_3)) \end{equation} $$
使用不等式“和的最小值 $ \geq $ 最小值的總和"
$$ \begin{equation} u(\lambda y + (1-\lambda) z) \geq \min(\lambda (y_1,y_2,y_3)) + \min( (1 - \lambda) (z_1,z_2,z_3) ) \end{equation} $$
自從 $ \lambda \in [0,1] $ ， 我們有 $ \lambda \geq 0, 1 - \lambda \geq 0 $ ，我們可以將它們中的每一個從每分鐘中分解出來。
$$ \begin{equation} u(\lambda y + (1-\lambda) z) \geq \lambda \min(y_1,y_2,y_3) + (1-\lambda) \min(z_1,z_2,z_3) \end{equation} $$
回顧函式的定義 $ u $
$$ \begin{equation} u(\lambda y + (1-\lambda) z) \geq \lambda u(y) + (1-\lambda) u(z) \end{equation} $$
自從 $ y \geq x, z \geq x $ , 我們有 $ u(y) \geq u(x), u(z) \geq u(x) $ . 所以，
$$ \begin{equation} u(\lambda y + (1-\lambda) z) \geq \lambda u(x) + (1-\lambda) u(x) = u(x) \end{equation} $$
從這裡我們得到 $ \lambda y + (1-\lambda) z \geq x $ .
因此，我們得出結論，偏好關係表示為 $ u $ 是凸的。
答案：是的