是否有一類需求函式可以為消費者和壟斷者提供相等的剩餘？
考慮一個具有零邊際成本並面臨需求的壟斷企業的市場 $ D(p;\mathbf{a}) $ ， 在哪裡 $ \mathbf{a} $ 是參數向量和 $ p $ 是價格。壟斷者通過解決問題來最大化利潤
$$ \max_p D(p;\mathbf{a})p, $$ 以便最優價格， $ p^* $ , 滿足$$ D_1(p^;\mathbf{a})p^+D(p^;\mathbf{a})=0. $$ 這個最優價格， $ p^ $ , 導致消費者剩餘
$$ \text{CS}=\int_{p^}^\infty!D(p;\mathbf{a}),dp, $$ 和生產者剩餘 $$ \text{PS}=D(p^,\mathbf{a})p^. $$ 我的問題是：是否存在一系列需求函式， $ D(p;\mathbf{a}) $ , 這樣 $ \text{CS}=\text{PS} $ 始終堅持 $ p^ $ ，如果是這樣，函式形式是什麼樣的？
我們有那個
$$ D(p^,\mathbf{a}) = -\frac {d}{dp^}\int_{p^}^\infty!D(p;\mathbf{a}),dp, $$ $$ \Rightarrow \text{PS}(p^) = -\text{CS}’(p^)p^ \tag{1} $$ 所以
$$ \text{PS}(p^)= \text{CS}(p^) \Rightarrow -\text{CS}’(p^)p^ = \text{CS}(p^*) $$ 或者
$$ \text{CS}’(p^) + \frac 1{p^}\text{CS}(p^)=0 \tag{2} $$ 這是一個一階線性齊次微分方程 $ p^ $ 具有可變係數。它的解決方案是
$$ \text{CS}(p^) = B\exp\left{-\int \frac 1{p^}dp^\right} = B\exp\left{-\ln p^\right}=B\frac 1{p^*},;; B>0 \tag{3} $$ 所以我們有OP尋求的需求函式必須滿足
$$ \int_{p^}^\infty!D(p;\mathbf{a}),dp = B\frac 1{p^} \tag{4} $$ 因為它應該持有 $ \forall p^* $ 我們可以考慮 wrt 的導數 $ p^* $ 兩邊，獲得
$$ D(p^;\mathbf{a}) = B\frac 1{[p^]^2} \tag{5} $$ 但既然，再一次，它應該保持 $ \forall p^* $ ， 它擁有 $ \forall p $ . 所以
$$ \text{PS} = \text{CS} \Rightarrow D(p;\mathbf{a}) = B\frac 1{p^2} \tag{6} $$ 驗證 $ (6) $ 很簡單。